1、专题突破练19随机变量及其分布1.(2018东北三省三校联考一,理18)某商场按月订购一种家用电暖气,每销售一台获利润200元,未销售的产品返回厂家,每台亏损50元,根据往年的经验,每天的需求量与当天的最低气温有关,如果最低气温位于区间-20,-10,需求量为100台;最低气温位于区间-25,-20),需求量为200台;最低气温位于区间-35,-25),需求量为300台.公司销售部为了确定11月份的订购计划,统计了前三年11月份各天的最低气温数据,得到下面的频数分布表:最低气温()-35,-30)-30,-25)-25,-20)-20,-15)-15,-10天数112536162以最低气温位于
2、各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.(1)求11月份这种电暖气每日需求量X(单位:台)的分布列;(2)若公司销售部以每日销售利润Y(单位:元)的数学期望为决策依据,计划11月份每日订购200台或250台,两者之中选其一,应选哪个?2.某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次,在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进球得0分,得分高的选手胜出.已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是.(1)如果该选手以在A,B区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准,问该选手应该选择哪个区投篮?请说明理由;(2)求该选手在A区投
3、篮得分高于在B区投篮得分的概率.3.(2018江西南昌三模,理19)质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.(1)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3件合格,检测即为良好,求甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率;(2)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件,用X表示乙车间的零件个数,求X的分布列与数学期望.4.医学上某种还没有完全攻克的疾病,治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V.现有三种不同配方的药剂,根据分析,A
4、,B,C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5,0.6,0.75,能控制V指标的概率分别是0.6,0.5,0.4,能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响.(1)求A,B,C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率;(2)某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果.求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列.5.(2018河北唐山一模,理18)某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价为每千克20元,成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去,未售出的全部降价处理完,平均每千克损失3元.根据以往的销售情况,按50,150),150,250),250,350),350
5、,450),450,550进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求未来连续三天内,该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350千克,而另一天日销售量低于350千克的概率;(2)在频率分布直方图的需求量分组中,以各组区间的中点值代表该组的各个值.求日需求量X的分布列;该经销商计划每日进货300千克或400千克,以每日利润Y的数学期望值为决策依据,他应该选择每日进货300千克还是400千克?6.2019年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1
6、000人的得分数据,其频率分布直方图如图所示:(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(,210),近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布求P(50.5Z94).(2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:得分不低于可获赠2次随机话费,得分低于则只有1次;每次赠送的随机话费和对应概率如下:赠送话费(单位:元)1020概率现有一位市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列.附:14.5,若ZN(,2),则P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.9
7、54 5.7.(2018湖南邵阳三模,理18)某运输公司根据以往从甲地到乙地的每日运输情况(运输量20,120),将运输量分为20,40),40,60),60,80),80,100),100,120)五组,并绘制了从甲地到乙地的日运输量x(单位:吨)的频率分布直方图,如图所示,将日运输量x落入各组的频率视为概率,并假设每天的运输量相互独立.(1)求该公司每天从甲地到乙地的日平均运输量(每组数据以区间的中点值为代表);(2)求未来3天,连续2天运输量不低于60吨,另一天日运输量低于60吨的概率;(3)该运输公司计划购置相同型号的货车n辆专门运输从甲地到乙地的货物,若一辆货车每天只能运输一趟,每辆
8、车每次最多只能装载20吨货物,满载发车,否则不发车,若发车,则每辆车每趟可获利2 000元,若未发车,则每辆车每天平均亏损600元,为使该公司每天的营业利润y最大,该公司应购置几辆该种货车?8.(2018山东潍坊一模,理19)某公司新上一条生产线,为保证新的生产线正常工作,需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数=14,标准差=2,绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件,记其数据为X,依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率):P(-X+)0.682 6;P(-2X+2)0.954
9、 4;P(-3X+3)0.997 4.评判规则为:若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线,试判断该生产线是否需要检修;(2)将数据不在(-2,+2)内的产品视为次品,从该生产线加工的产品中任意抽取2件,次品数记为Y,求Y的分布列与数学期望E(Y).参考答案专题突破练19随机变量及其分布1.解 (1)由已知X的可能取值为100,200,300,X的分布列为X100200300P0.20.40.4(2)当订购200台时,E(Y)=200100-50(200-100)0.2+2002000.8=35 000(元).当订购250台时,E(Y)=200100-50(250-
10、100)0.2+200200-50(250-200)0.4+(200250)0.4=37 500(元).综上所述,当订购250台时,Y的数学期望最大,11月每日应订购250台.2.解 (1)设该选手在A区投篮的进球数为X,则XB,故E(X)=2,则该选手在A区投篮得分的期望为2设该选手在B区投篮的进球数为Y,则YB,故E(Y)=3=1,则该选手在B区投篮得分的期望为31=3.所以该选手应该选择在A区投篮.(2)设“该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件C,“该选手在A区投篮得4分,且在B区投篮得3分或0分”为事件D,“该选手在A区投篮得2分,且在B区投篮得0分”为事件E,则事件C=DE
11、,且事件D与事件E互斥.P(D)=,P(E)=,P(C)=P(DE)=,故该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为3.解 (1)设事件A表示“2件合格,2件不合格”;事件B表示“3件合格,1件不合格”;事件C表示“4件全合格”;事件D表示“检测通过”;事件E表示“检测良好”.P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=,P(E|D)=故所求概率为(2)X可能取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,分布列为X012PE(X)=0+1+24.解 (1)A,B,C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率为P=0.5(1-0.6)(1-0.75)+(1-0.5)0.6(1-0.
12、75)+(1-0.5)(1-0.6)0.75=0.275.(2)A有治疗效果的概率为PA=0.50.6=0.3,B有治疗效果的概率为PB=0.60.5=0.3,C有治疗效果的概率为PC=0.750.4=0.3,A,B,C三种药剂有治疗效果的概率均为0.3,可看成是独立重复试验,即XB(3,0.3).X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=k)=0.3k(1-0.3)3-k,即P(X=0)=0.30(1-0.3)3=0.343,P(X=1)=0.3(1-0.3)2=0.441,P(X=2)=0.32(1-0.3)=0.189,P(X=3)=0.33=0.027.故X的分布列为X0123P0.3
13、430.4410.1890.0275.解 (1)由频率分布直方图可知,日销售量不低于350公斤的概率为(0.002 5+0.001 5)100=0.4,则未来连续三天内,有连续两天的日销售量不低于350公斤,而另一天日销售量低于350公斤的概率P=0.40.4(1-0.4)+(1-0.4)0.40.4=0.192.(2)X可取100,200,300,400,500,P(X=100)=0.001 0100=0.1;P(X=200)=0.002 0100=0.2;P(X=300)=0.003 0100=0.3;P(X=400)=0.002 5100=0.25;P(X=500)=0.001 5100
14、=0.15;所以X的分布列为:X100200300400500P0.10.20.30.250.15当每日进货300公斤时,利润Y1可取-100,700,1 500,此时Y1的分布列为:Y1-1007001 500P0.10.20.7此时利润的期望值E(Y1)=-1000.1+7000.2+1 5000.7=1 180;当每日进货400公斤时,利润Y2可取-400,400,1 200,2 000,此时Y2的分布列为:Y2-4004001 2002 000P0.10.20.30.4此时利润的期望值E(Y2)=-4000.1+4000.2+1 2000.3+2 0000.4=1 200;因为E(Y1
15、)E(Y2),所以该经销商应该选择每日进货400公斤.6.解 (1)E(Z)=350.025+450.15+550.2+650.25+750.225+850.1+950.05=65,=65,=14.5,P(50.5Z79.5)0.682 7,P(36Z94)0.954 5,P(79.5Z94)=0.135 9,P(50.5Z94)=P(50.5Z79.5)+P(79.5Z94)0.682 7+0.135 9=0.818 6.(2)P(Z)=P(Z)=,X的所有可能取值为10,20,30,40,P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=30)=,P(X=40)=故X的分布列为X10203040
16、P7.解 (1)在区间80,100)的频率为1-(0.005+0.01+0.015+0.007 5)20=0.25.所以从甲地到乙地的日平均运输量为:300.1+500.2+700.3+900.25+1100.15=73(吨).(2)由频率分布直方图可知,日运输量不低于60吨的概率为0.3+0.25+0.15=0.7,记未来3天,第i天日运输量不低于60吨为事件Ai(i=1,2,3),则P(Ai)=0.7;未来3天,连续2天日运输量不低于60吨,另一天日运输量低于60吨,包含两个互斥事件A1A2A2A3;所以P(A1A2)(A2A3)=P(A1A2)+P(A2A3)=0.70.70.3+0.3
17、0.70.7=0.294.(3)从甲地到乙地的日平均运输量x在20,40),40,60),60,80),80,100),100,120)的频率分别为:0.1,0.2,0.3,0.25,0.15,设公司每天的营业利润为y,当购置1辆货车时,则y的值为2 000,当购置2辆货车时,则y的可能取值为4 000,1 400,其分布列为:x4 0001 400p0.90.1所以E(y)=4 0000.9+1 4000.1=3 740;当购置3辆货车时,则y的可能取值为6 000,3 400,800,其分布列为:x6 0003 400800p0.70.20.1所以E(y)=6 0000.7+3 4000.
18、2+8000.1=4 960;当购置4辆货车时,则y的可能取值为8 000,5 400,2 800,200,其分布列为:x8 0005 4002 800200p0.40.30.20.1所以E(Y)=8 0000.4+5 4000.3+2 8000.2+2000.1=5 400;当购置5辆货车时,则Y的可能取值为10 000,7 400,4 800,2 200,-400,其分布列为:Y10 0007 4004 8002 200-400P0.150.250.30.20.1所以E(Y)=10 0000.15+7 4000.25+4 8000.3+2 2000.2-4000.1=5 190;当购置6辆
19、货车及以上时,因为闲置的车辆会增多,故利润的期望值会减小.所以当购置4辆货车时,该公司的营业利润最大.8.解 (1)由题意知,=14,=2,由频率分布直方图得P(-X+)=P(12X0.682 6,P(-2X+2)=P(10X18)=0.8+(0.04+0.03)2=0.940.954 4,P(-3X+3)=P(8X0.997 4,不满足至少两个不等式成立,该生产线需检修.(2)由(1)知P(-2X+2)=0.94=,所以任取一件是次品的概率为0.06=,所以任取两件产品得到的次品数Y可能值为0,1,2,则P(Y=0)=2=;P(Y=1)=;P(Y=2)=2=;Y的分布列为Y012PE(Y)=0+1+2