1、1.3.3函数的最大(小)值与导数学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的最值的概念(难点)2.了解函数的最值与极值的区别与联系(易混点)3.会用导数求在给定区间上函数的最值(重点)1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养.2.借助函数最值的求解问题，提升学生的数学运算的核心素养.1函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值思考：函数的极值与最值的区别是什么？提示函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值函数的最大值
2、、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值当连续函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定f (x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间2求函数f (x)在闭区间a，b上的最值的步骤(1)求函数yf (x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f
3、(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值1函数f (x)2xcos x在(，)上()A无最值B有极值C有最大值D有最小值Af (x)2sin x0恒成立，所以f (x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值2函数f (x)x24x7在x3,5上的最大值和最小值分别是()Af (2)，f (3)Bf (3)，f (5)Cf (2)，f (5)Df (5)，f (3)Bf (x)2x4，当x3,5时，f (x)0，且x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f (x)0f (x)7abb16ab由表可知，当x0时，f (x)取得极大值b，也就是函
4、数在1,2上的最大值，f (0)b3.又f (1)7a3，f (2)16a3f (1)，f (2)16a329，解得a2.(2)当af (1)，f (2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟进训练3若函数f (x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_1f (x)，当x时，f (x)0，f (x)单调递减，当x0，f (x)单调递增，当x时，f (x)，0)(1)求f (x)的最
5、小值h(t)；(2)若h(t)0)，当xt时，f (x)取最小值f (t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值1mg(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1m0.m的取值范围为(1，)1(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t0,2，使h(t)2tm成立”，则实数m的取值范围如何求解？解令g(t)h(t)(2tm)t33t
6、1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t0(0,1)1(1,2)2g(t)0g(t)1m极大值1m3mg(t)在0,2上有最小值g(2)3m，存在t0,2，使h(t)2tm成立，等价于g(t)的最小值g(2)0.3m3，所以实数m的取值范围为(3，)2(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2(0,2)，都有h(t1)2t2m”，求实数m的取值范围解h(t)t3t1，t(0,2)h(t)3t21由h(t)0得t或t(舍)又当0t时，h(t)0，当t2时，h(t)0.当t时，h(t)max1.令(t)2tm，t(0,
7、2)，(t)minm4.由题意可知m4，即m3.实数m的取值范围为.分离参数求解不等式恒成立问题的步骤1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论3“恒成立”问题可转化为函数最值问题1下列结论正确的是()A若f (x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值B若f (x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C若f (x)在a，b上有极大值，则极小值一定是xa和xb时取得D若f (x)在a，b上连续，则f (x)在a，b上存在最大值和最小值D
8、函数f (x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2函数yxsin x，x的最大值是()A1B1CD1C因为y1cos x，当x时，y0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin ，故选C.3函数f (x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值 Df (x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f (x)0，所以f (x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.4设函数f (x)x32x5，若对任意x1,2，都有f (x)m，则实数m的取值范围是_f (x)3x2x20，x1，.f (1)5，f 5，f (1)3，f (2)7，m3.5已知函数f (x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f (x)在2,2上的最大值解f (x)6x212x6x(x2)由f (x)0，得x0或x2.当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f (x)00f (x)40a极大值a8a所以当x2时，f (x)min40a37，所以a3.所以当x0时，f (x)取到最大值3.