1、吉林省吉林市舒兰市2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）考生注意:1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上.2.将答案填在相应的答题卡内，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.无理数是实数，是无理数，所以是实数.以上三段论推理（ ）A. 正确B. 推理形式不正确C. 两个“无理数”概念不一致D. 两个“实数”概念不一致【答案】A【解析】【分析】分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论
2、是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论【详解】解：无理数是实数，是无理数，所以是实数大前提：无理数是实数是正确的，小前提：是无理数是正确的，结论：是实数是正确的，这个推理是正确的，故选：A【点睛】本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题2.是虚数单位，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由复数的除法运算，先化简，再由复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以其虚部为.故选B【点睛】本题主要考查复数的运算、以及复数的概念，熟记复数的运算法则以及复数概念即可，属于常考题型.3.函数在点处的切线方程为（
3、）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线的方程【详解】解：函数f (x)cosx的导数为f（x）sinx，即有在点（0，f（0）处的切线斜率为ksin00，切点为（0，1），则在点（0，f（0）处的切线方程为y1，即为y10故选：C【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用导数的几何意义和直线的方程，考查运算能力，属于基础题4.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“已知ab0，求证：”最终的索因应是A. 1B. 1C. 1D. ab0【答案】C【解析】【分析】由题意可得，要证，经过分析，只要证1，从而得出
4、结论【详解】解：由ab0，可得要证，a，只要证，即证 ，即证，即证 ，即证1故求证“”索的因应是 1，故选：C【点睛】本题主要考查用分析法证明不等式，属于基础题5.10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】C【解析】【分析】不相邻问题采用“插空法”.【详解】解：10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排，采用插空法来解，另外六人，有种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁，有种结果，根据分步计数原理知共有，故选：C【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素
5、，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素6.下列命题正确的是（）A. 复数不是纯虚数B. 若，则复数为纯虚数C. 若是纯虚数，则实数D. 若复数，则当且仅当时，为虚数【答案】B【解析】【分析】分别对四个选项进行判断，得到正确的选项.【详解】选项A中，当时，复数是纯虚数，故错误；选项B中，时，复数，为纯虚数，故正确；选项C中，是纯虚数，则，即，得，故错误；选项D中，没有给出为实数，当，时，也可以是虚数，故错误.所以选B项.【点睛】本题考查复数的定义和纯虚数的概念，判断命题的正确，属于简单题.7.若函数f (x)x，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用微积分基本定理即可得到结
6、果.【详解】f (x)x，故选：C【点睛】本题考查微积分基本定理，考查函数的表达式，考查运算能力.8.今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有A. 210种B. 162种C. 720种D. 840种【答案】A【解析】【分析】先在7个位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，由乘法原理可得答案【详解】解：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题先在7位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，所以共有210
7、故选：A【点睛】本题考查排列组合的基本知识分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法9.已知i为虚数单位，a为实数，复数z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“a1”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】把复数的表示形式写成标准形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a的取值范围，得到结果【详解】解：复数z（a2i）（1+i）a+2+（a2）i，在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a2），若点在第四象限则a+20，a20，
8、2a2，“点M在第四象限”是“a1”的必要而不充分条件，故选：B【点睛】本题考查充要条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题10.观察下列各式：，则（ ）A. 322B. 521C. 123D. 199【答案】A【解析】【分析】根据题中数据，归纳推理，即可得出结果.【详解】因为，等式右边对应数为，所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；因此，求，即是求数列“”中的第12项，所以对应的数列为“”，即第12项为322.故选A【点睛】本题主要考查归纳推理，结合题中数据，找出规律即可，属于常考题型.11.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一
9、对，其中相互平行或相互垂直的有A. 24对B. 16对C. 18对D. 48对【答案】C【解析】【分析】考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可，相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对.【详解】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，相互平行或相互垂直，则考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可.相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对，共6对，正方体有三组相对面，故36=18，故选：C【点睛】本题考查空间直线平行与垂直的判断，考查空间想象能力，考查分类讨论思想，属于中档题.12.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是()A. B. C. D. 【答案】D
10、【解析】【分析】根据函数在处取得极大值，得到在的左右两边的单调性，从而得到的正负，从而得到在的左右两边的正负，得到答案.【详解】因为函数在处取得极大值，故时，单调递增，所以，时， 单调递减，所以，所以的图像，在时，在时，故选D项.【点睛】本题考查已知函数极大值求导函数的正负，判断函数图像，属于中档题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则_【答案】【解析】【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数【详解】解：设复数在复平面内对应的点关于原点对称，复数的实部相反，虚部相反，2018i，所以2018
11、i故答案为：2018i【点睛】本题考查复数的几何意义，对称点的坐标的求法，基本知识的应用14.某单位将4名新来的员工小张、小王、小李、小刘分配到营销、财务、保管三个部门中，每个部门至少安排1名员工，其中小张不能分配到营销部门，那么不同的分配方案有_【答案】24【解析】【分析】分析小张有2种方法，再分两种情况讨论其他三名员工，三个部门每部门一人，小王、小李、小刘中一个部门1人，另一个部门2人，分别求出情况种数，从而可得答案.【详解】小张不能分配到营销部门，则小张可以放在财务、保管部门，有A21种方法，另外三个员工有2种情况，三人中，有1个人与小张分配一个部门，即小王、小李、小刘每人一个部门，有A
12、33种，三人中，没有人与小张分配一个部门，这三人都被分配到小张没有分配的另外2个部门，则这三人中一个部门1人，另一个部门2人，有C32A22种情况，则另外三名员工有A33+C32A22种安排方法，不同的分配方案有A21（A33+C32A22）24，故答案为：24【点睛】本题考查排列组合的简单应用， 一般思路，按照先分组，再分配的原则求解即可.15.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是2的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为_【答案】1【解析】【分析】连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，由四边形ABCD为正方形，得到OBOA，
13、BOA90，MBOOAN45，而四边形ORQP为正方形，得NOM90，所以MOBNOA，则OBMOAN，即可得到S四边形MONBSAOB.【详解】解：连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，如图示：四边形ABCD为正方形，OBOA，BOA90，MBOOAN45，而四边形ORQP为正方形，NOM90，MOBNOA，OBMOAN，S四边形MONBSAOB221，即它们重叠部分的面积为1，故答案为：1【点睛】本题考查旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了正方形的性质16.已知函数f (x)x(82x)(52x)在区间0
14、，3上的最大值是_【答案】18【解析】【分析】求出导函数，明确函数的单调性，从而得到函数的最值.【详解】由题意可得，在上单调递增，在上单调递减，函数f (x)x(82x)(52x)在区间0，3上的最大值是，故答案为：18【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查运算能力，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数x(3x2)i（xR）是复数620i的共轭复数，求实数x的值【答案】【解析】【分析】由共轭复数的定义可得可得，解之可得答案【详解】因为复数620i的共轭复数为620i，由题意得：x(3x2)i620i， 根据复数相等的充要
15、条件，得：方程的解为：x3或x2方程的解为：x3或x6所以实数x的值为3【点睛】本题考查共轭复数的概念，属基础题明确相关概念是解题关键18.做一个容积为256方底无盖水箱，求它的高为何值时最省料【答案】【解析】【分析】设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x256，其表面积S4ax+a2a2a2，利用均值不等式即可得出【详解】解：设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x256，其表面积S4ax+a2a2a2326192当且仅当a8即h4时，S取得最小值答：它的高为4 dm时最省料【点睛】本题考查了正方体的体积与表面积、均值不等式，属于基础题19.个相同的红球和个相同的白球放入袋中，现从袋中取出
16、个球，若取出的红球个数多于白球个数，则有多少种不同的取法？【答案】(种).【解析】【分析】由取出个球且取出的红球个数多于白球个数可知，取出的个球中至少有个红球，分为全为红球和4个球里有3个红球两种情况，分别得到取法的数量，然后相加得到答案.【详解】解:依题意知，取出的个球中至少有个红球，可分两类:取出的全是红球有的取法有：取出的球中有个红球的取法有；由分类计数原理，共有(种).【点睛】本题考查利用组合解决问题，分类计数原理，属于简单题.20.从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两
17、个偶数不相邻且三个奇数也不相邻五位数有几个？（所有结果均用数值表示）【答案】（1）576；（2）576；（3）144【解析】【分析】（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列；（2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.【详解】（1）偶数在末尾，五位偶数共有576个 （2）五位数中，偶数排在一起的有576个 （3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有144【点睛】本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题21.设
18、函数g(x)1ax，若当x0时，x(1ax)0，求a的取值范围【答案】【解析】【分析】g（x）exa，根据a的取值范围利用导数性质能求出a的取值范围【详解】由已知可得g(x)a若a1，则当x（0，）时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即x(1ax)0 若a1，则当x（0，lna）时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x（0，lna）时，g(x)0，即x(1ax)0综上，得a的取值范围为(，1点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用22.试比较3与（n为正整数）的大小，并予以证明【答案】见解析【解析】【分析】利用作差法可得3，确定3与的大小关系等价于比较与2n1的大小，利用数学归纳法证明即可.【详解】证明：3， 于是确定3与的大小关系等价于比较与2n1的大小由2211，221，231，241，251， 可猜想当n3时，2n1， 证明如下：当n3时，由上可知显然成立假设当nk时，2k1成立那么，当nk1时，22(2k1)4k22(k1)1(2k1)2(k1)1，所以当nk1时猜想也成立，综合和，对一切n3的正整数，都有2n1所以当n1，2时，3；当n3时，3（n为正整数）【点睛】本题考查大小的比较，考查作差法、考查数学归纳法，考查转化思想，属于中档题.
