1、1.3.2函数的极值与导数学 习 目 标核 心 素 养1.了解极大值、极小值的概念(难点)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(重点、易混点)3会用导数求函数的极大值、极小值(重点)1.通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养2借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.1极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数yf (x)在点xa的函数值f (a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f (a)0，而且在点xa附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，就把点a叫做函数yf (x)的极小值点，f (a)叫做函数yf (x)的极小值(2)极大值点与极大值若函数y
2、f (x)在点xb的函数值f (b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f (b)0，而且在点xb附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，就把点b叫做函数yf (x)的极大值点，f (b)叫做函数yf (x)的极大值(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值思考：导数为0的点一定是极值点吗？提示不一定，如f (x)x3，f (0)0, 但x0不是f (x)x3的极值点所以，当f (x0)0时，要判断xx0是否为f (x)的极值点，还要看f (x)在x0两侧的符号是否相反2求可导函数yf (x)的极值的方法解方程f (x)0.当f (x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f
3、 (x)0，右侧f (x)0，那么f (x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f (x0)是极小值1函数f (x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f (x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点C设yf (x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，xx4处取得极小值2函数f (x)的极值点为()A0B1C0或1D1Df (x)x3x2x2(x1)，由f (x)0得x0或x1.又当
4、x1时f (x)0,0x1时f (x)0，1是f (x)的极小值点又x0时f (x)0，故x0不是函数的极值点3下列关于函数的极值的说法正确的是()A导数值为0的点一定是函数的极值点B函数的极小值一定小于它的极大值C函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D若f (x)在(a，b)内有极值，那么f (x)在(a，b)内不是单调函数D由极值的概念可知只有D正确4函数f (x)x33x21的极小值点为_2由f (x)3x26x0，解得x0或x2.列表如下：x(，0)0(0,2)2(2，)f (x)00f (x)极大值极小值当x2时，f (x)取得极小值求函数的极值点和极值角度1不含参数的函数求极值【
5、例1】求下列函数的极值(1)yx33x29x5；(2)yx3(x5)2.解(1)y3x26x9，令y0，即3x26x90，解得x11，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)y00y极大值极小值当x1时，函数yf (x)有极大值，且f (1)10；当x3时，函数yf (x)有极小值，且f (3)22.(2)y3x2(x5)22x3(x5)5x2(x3)(x5)，令y0，即5x2(x3)(x5)0，解得x10，x23，x35.当x变化时，y与y的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3,5)5(5，)y000y无极值极大值108极小值0x0不是y的极值点；
6、x3是y的极大值点，y极大值f (3)108；x5是y的极小值点，y极小值f (5)0.跟进训练1求函数f (x)x34x4的极值解由题意可知f (x)x24.解方程x240，得x12，x22.由f (x)0得x2或x2；由f (x)0得2x2.当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f (x)00f (x)由表可知：当x2时，f (x)有极大值f (2).当x2时，f (x)有极小值f (2).角度2含参数的函数求极值【例2】已知函数f (x)(x2ax2a23a)ex(xR)，当aR且a时，求函数的极值思路探究：解f (x)x2(a2)x2a24
7、aex.令f (x)0，解得x2a或xa2.由a知，2aa2.以下分两种情况讨论：若a，则2aa2.当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f (x)00f (x)极大值极小值f (x)在(，2a) ，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数函数f (x)在x2a处取得极大值f (2a)，且f (2a)3ae2a；函数f (x)在xa2处取得极小值f (a2)，且f (a2)(43a)ea2.若a，则2aa2，当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f (x)00f (x)极
8、大值极小值f (x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数函数f (x)在xa2处取得极大值f (a2)，且f (a2)(43a)ea2；函数f (x)在x2a处取得极小值f (2a)，且f (2a)3ae2a.求可导函数f (x)的极值的步骤(1)求函数的定义域；(2)求函数的导数f (x)；(3)令f (x)0，求出全部的根x0；(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f (x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值跟进训练2若函数f (x)xal
9、n x(aR)，求函数f (x)的极值解函数f (x)的定义域为(0，)，f (x)1.(1)当a0时，f (x)0，函数f (x)在(0，)上单调递增，函数f (x)无极值(2)当a0时，令f (x)0，解得xa.当0xa时，f (x)0；当xa时，f (x)0.f (x)在xa处取得极小值，且f (a)aaln a，无极大值综上可知，当a0时，函数f (x)无极值；当a0时，函数f (x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.由极值求参数的值或取值范围【例3】(1)若函数f (x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则a_，b_.(2)已知函数f (x)x3(m3)x2(m6)x(
10、xR，m为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围思路探究： (1)由f (1)0及f (1)10求a，b，注意检验极值的存在条件；(2)f (x)在(1，)内有两个极值点，等价于f (x)0在(1，)内有两个不等实根(1)4，11f (x)3x22axb，依题意得即解得或但由于当a3，b3时，f (x)3x26x33(x1)20，故f (x)在R上单调递增，不可能在x1处取得极值，所以，不符合题意，应舍去而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，11.(2)解f (x)x2(m3)xm6.因为函数f (x)在(1，)内有两个极值点，所以f (x)x2(m3)xm6在(1
11、，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示所以解得m3.故实数m的取值范围是(3，)已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟进训练3已知f (x)x3mx22m2x4(m为常数，且m0)有极大值，求m的值解f (x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f (x)0，则xm或xm.当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x(，m)mmf (x)00f (x)极大值极小值f (x)极大值f (m)m3
12、m32m34，m1.极值问题的综合应用探究问题1如何画出函数f (x)2x33x236x16的大致图象提示f (x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2)由f (x)0得x2或x3，函数f (x)的递增区间是(，2)和(3，)由f (x)0得2x3，函数f (x)的递减区间是(2,3)由已知得f (2)60，f (3)65，f (0)16.结合函数单调性及以上关键点画出函数f (x)大致图象如图所示(答案不唯一)2当a变化时，方程2x33x236x 16a有几解？提示方程2x33x236x16a解的个数问题可转化为函数ya与y2x33x236x16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可
13、知：(1)当a60或a65时， 方程2x33x236x16a有且只有一解；(2)当a60或a65时，方程2x33x236x16a有两解；(3)当65a60时，方程2x33x236x16a三解【例4】已知函数f (x)x33xa(a为实数)，若方程f (x)0有三个不同实根，求实数a的取值范围思路探究：求出函数的极值，要使f (x)0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围解令f (x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f (x)1时，f (x)0.所以当x1时，f (x)有极大值f (1)2a；当x1时，f (x)有极小值f (
14、1)2a.因为方程f (x)0有三个不同实根，所以yf (x)的图象与x轴有三个交点，如图由已知应有解得2a2，故实数a的取值范围是(2,2)1(改变条件)本例中，若方程f (x)0恰有两个根，则实数a的值如何求解？解由例题，知函数的极大值f (1)2a，极小值f (1)2a，若f (x)0恰有两个根，则有2a0，或2a0，所以a2或a2.2(改变条件)本例中，若方程f (x)0有且只有一个实根，求实数a的范围解由例题可知，要使方程f (x)0有且只有一个实根，只需2a0或2a0，即a2或a2.利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数
15、图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质，可导函数f (x)在点xx0处取得极值的充要条件是f (x0)0且在xx0两侧f (x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题1函数f (x)的定义域为R，它的导函数yf (x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A在(1,2)上函数f (x)为增函数B在(3,4)上函数f (x)为减函数C在(1,3)上函数f (x)有极大值Dx3是函数f (x)在区间1,5上的
16、极小值点D由图可知，当1x2时，f (x)0，当2x4时，f (x)0，当4x5时，f (x)0，x2是函数f (x)的极大值点，x4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误2已知函数f (x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2,3)B(3，)C(2，)D(，3) Bf (x)6x22ax36，且在x2处有极值，f (2)0,244a360，a15，f (x)6x230x366(x2)(x3)，由f (x)0得x2或x3.3设函数f (x)xex，则()Ax1为f (x)的极大值点Bx1为f (x)的极小值点Cx1为f (x)的极大值点Dx1为
17、f (x)的极小值点D令yexxex(1x)ex0，得x1.当x1时，y0；当x1时，y0.故当x1时，y取得极小值4已知函数f (x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_(，1)(2，)f (x)3x26ax3(a2)，函数f (x)既有极大值又有极小值，方程f (x)0有两个不相等的实根，36a236(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.5.求函数f (x)的极值解函数的定义域为(，1)(1，)f (x)，令f (x)0，得x11，x22.当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1,2)2(2，)f (x)00f (x)3故当x1时，函数有极大值，并且极大值为f (1)，无极小值