1、选修4-4 坐标系与参数方程第1讲 坐标系一、填空题1在极坐标系中,点P(0,0)(00)关于极点的对称点的极坐标是_解析 设点P(0,0)关于极点的对称点为(,),则00,0,对称点为(0,0)答案 (0,0)2过点(2,)平行于极轴的直线的极坐标方程是_解析 设直线上点坐标P(,),则sin 2cos (9045).答案 sin 3在极坐标系中,4sin 是圆的极坐标方程,则点A到圆心C的距离是_解析将圆的极坐标方程4sin 化为直角坐标方程为x2y24y0,圆心坐标为(0,2)又易知点A的直角坐标为(2,2),故点A到圆心的距离为2.答案24在极坐标系中,点M到曲线cos2上的点的距离的
2、最小值为_解析依题意知,点M的直角坐标是(2,2),曲线的直角坐标方程是xy40,因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离,即为2.答案25从极点作圆2acos 的弦,则各条弦中点的轨迹为_解析 设所求曲线上动点M的极坐标为(r,),由图可知.把和2r代入方程2acos ,得2r2acos ,即racos .(,这就是所求的轨迹方程由极坐标方程可知,所求轨迹是一个以(,0)为圆心,半径为的圆答案 以(,0)为圆心,以为半径的圆6在极坐标系中,曲线C1:2cos ,曲线C2:,若曲线C1与C2交于A、B两点,则线段AB_.解析曲线C1与C2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点由得即曲线C1
3、与C2的另一个交点与极点的距离为,因此AB.答案 7在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:22cos 0,点P的极坐标为过点P作圆C的切线,则两条切线夹角的正切值是_解析圆C的极坐标方程:22cos 0化为普通方程:(x1)2y21,点P的直角坐标为(0,2),圆C的圆心为(1,0)如图,当切线的斜率存在时,设切线方程为ykx2,则圆心到切线的距离为1,k,即tan .易知满足题意的另一条切线的方程为x0.又两条切线的夹角为的余角,两条切线夹角的正切值为.答案8若直线3x4ym0与曲线22cos 4sin 40没有公共点,则实数m的取值范围是_解析注意到曲线22cos 4sin 40的直角坐标方程
4、是x2y22x4y40,即(x1)2(y2)21.要使直线3x4ym0与该曲线没有公共点,只要圆心(1,2)到直线3x4ym0的距离大于圆的半径即可,即1,|m5|5,解得,m0或m10.答案(,0)(10,)二、解答题9在直角坐标系xOy中,直线l的方程为xy40,曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C 上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值解 (1)把极坐标系下的点P化为直角坐标,得P(0,4)因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方
5、程xy40,所以点P在直线l上(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q坐标为(cos ,sin ),从而点Q到直线l的距离为dcos2,由此得,当cos1时,d取得最小值,且最小值为.10在直角坐标系xOy中,圆C1:x2y24,圆C2:(x2)2y24.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程解(1)圆C1的极坐标方程为2,圆C2的极坐标方程为4cos .解得2,故圆C1与圆C2交点的坐标为,.注:极坐标系下点的表示不唯一(2)法一由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(t)法二将x1代入得cos 1,从而.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为