1、第7讲 立体几何中的向量方法（一）一、选择题1直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()As1(1,1,2)，s2(2，1,0)Bs1(0,1，1)，s2(2,0,0)Cs1(1,1,1)，s2(2,2，2)Ds1(1，1,1)，s2(2,2，2)解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直答案B2已知a，b满足ab，则等于()A. B. C D解析由，可知.答案B3平面经过三点A(1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是 ()A. B(6，2，2)C(4,2,2) D(1,1,4)解析设平面的法向量为n，
2、则n，n，n，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.答案D4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 ()A2 B. C. D1解析连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OHAC1于点H，因为AB2，所以AC2，又CC12，所以OHsin 451.答案D5已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5， )，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A. B. C. D.解析由题意得ctab(2t，t4，3t2)，.答案D6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的
3、中点，则|为 ()A.a B.a C.a D.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 设M(x，y，z)，点M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，| a.答案A二、填空题7若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析由已知得，83(6)，解得2或.答案2或8在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)过点
4、P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC，H为ABC的外心又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标为.PH a.点P到平面ABC的距离为a.答案a9平面的一个法向量n(0,1，1)，如果直线l平面，则直线l的单位方向向量是s_.解析 直线l的方向向量平行于平面的法向量，故直线l的单位方向向量是s.答案 10在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数的有_个解析建立如图的坐标系，设
5、正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，OP的中点坐标为，又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上，xQyQ3，xy1，即点P坐标满足xy1.有2个符合题意的点P，即对应有2个.答案2三、解答题11已知：a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：a，b，c.解因为ab，所以，解得x2，y4，这时a(2,4,1)，b(2，4，1)又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2) 12如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面
6、BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则N，E(0,0,1)，A(，0)，M.且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知，D(，0,0)，F(，1)，(0，1)0，AMDF.同理AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.13在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论(1)证明如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,
7、0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.，(0，a,0)0，即EFCD.(2)解设G(x,0，z)，则，若使GF平面PCB，则由(a,0,0)a0，得x；由(0，a，a)2a0，得z0.G点坐标为，即G点为AD的中点14如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积解如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设PAh，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4，3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)由题设和(1)知，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故.解得h.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.