1、章末优化总结第六章 万有引力与航天 万有引力定律在天文学中的应用1抓住两条思路天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决此类问题的基本思路有两条思路 1 中心天体的表面或附近，万有引力近似等于重力，即GMmR2 mg0(g0 表示天体表面的重力加速度)思路 2 万有引力提供向心力，即 GMmr2 ma式中 a 表示向心加速度，而向心加速度又有 av2r、a2r、av，a42rT2、ag 这样几种表达形式，要根据具体问题，选择合适的表达式讨论相关问题2分清四个不同(1)不同公式和问题中 r 的含义不同例如，在公式GMmr2mg 中，r 表示地球的半径，而在GMm
2、r2mamv2r m2T2r 中，r 通常指行星(或卫星)绕中心天体运动的环绕半径(2)万有引力与重力不同宇宙间一切物体都是相互吸引的，物体间的这种吸引叫万有引力地面附近的物体，由于地球的吸引而产生的力叫做重力重力实际上是地球对物体的万有引力的一个分力，所以物体的重力并不等于地球对物体的万有引力，只是由于两者差距不大，在通常情况下可认为两者近似相等地球表面附近 mgGMmR2，所以 gGMR2(其中 g 为地球附近的重力加速度，M 为地球的质量，R 为地球的半径，G 为引力常量)离地面高为 h 处的物体的重力近似等于万有引力mgGMm（Rh）2，则 gGM（Rh）2绕地球运动的物体的重力等于万
3、有引力，且提供向心力mgGMmr2F 向(3)随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度不同放在地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动，所以具有向心加速度，该加速度是由地球对物体的引力和地面的支持力的合力提供的，一般来讲是很小的环绕地球运行的卫星，具有向心加速度，该加速度完全由地球对它的万有引力提供(4)运行速度和发射速度不同对于人造卫星，由 GMmr2 mv2r，得到 vGMr，该速度指的是人造卫星在轨道上运行的速度，其大小随轨道半径的增大而减小要将人造卫星发射到预定的轨道，就需要给卫星一个发射速度，发射速度随着发射高度的增加而增大，所以要注意运行速度和发射速度的区别 一卫星绕某行星做匀速圆
4、周运动，已知行星表面的重力加速度为 g 行，行星的质量 M 与卫星的质量 m 之比为Mm81，行星的半径 R 行与卫星的半径 R 卫之比为R行R卫36，行星与卫星之间的距离 r 与行星的半径 R 行之比为 rR行60设卫星表面的重力加速度为 g 卫某同学求卫星表面的重力加速度的过程如下：在卫星所处高度处由万有引力提供向心力，有GMmr2mg 卫经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的13 600该结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，请求出正确结果思路点拨 要对本题作出正确的判断，必须正确理解重力加速度与向心加速度的区别及重力加速度的产生原因，本题迷惑性很强，因此，推理论
5、证时一定要正确运用相关公式进行解析 该同学计算结果不正确题中已指明 M、m、r 依次表示行星的质量、卫星的质量和卫星与行星之间的距离，因此，GMmr2是行星对卫星的万有引力，故用 GMmr2 mg卫算出的 g卫是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度，而不是卫星表面的重力加速度卫星表面的重力加速度是卫星表面上的物体受到卫星的万有引力(重力)而产生的，即 Gmm0R2卫 m0g 卫，则 g 卫GmR2卫行星表面上的重力加速度满足GMmR2行 mg 行，则 g 行GMR2行所以g卫g行mR2行MR2卫 181(3.6)20.16即 g 卫0.16g 行答案 见解析 1宇宙中存在一些离其他恒星较远的、
6、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为 m(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？解析：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有 F1Gm2R2，F2Gm2（2R）2F1F2mv2R运动
7、星体的线速度 v 5GmR2R设周期为 T，则有 T2RvT4R35Gm.(2)设第二种形式星体之间的距离为 r，则三个星体做圆周运动的半径为Rr2cos 30由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有F 合2Gm2r2 cos 30F 合m42T2 R由式得 r12513R.答案：见解析 人造卫星的发射、变轨与对接1发射问题要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星以很大的发射初速度，且发射速度 vv179 km/s，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使 F 引F 向，即 GMmr2 mv
8、2r，从而使卫星进入预定轨道2变轨问题人造卫星在轨道变换时，速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生向心运动或离心运动，发生变轨发射过程：如图所示，一般先把卫星发射到较低轨道 1 上，然后在P 点点火，使火箭加速，让卫星做离心运动，进入轨道 2，到达Q 点后，再使卫星加速，进入预定轨道 33对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，飞船首先在比空间站低的轨道运行，当运行到适当位置时，再加速运行到一个椭圆轨道通过控制轨道使飞船跟空间站恰好同时运行到两轨道的相切点，便可实现对接(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适
9、当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度 如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道 1 绕地球 E 运行，在 P 点变轨后进入轨道 2 做匀速圆周运动下列说法正确的是()A不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在P 点的速度都相同B不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的加速度都相同C卫星在轨道 1 的任何位置都具有相同加速度D卫星在轨道 2 的任何位置都具有相同的速度解析 卫星由轨道 1 进入轨道 2，需在 P 点加速做离心运动，故卫星在轨道 2 运行经过 P 点时的速度较大，A 错误；由 GMmr2 ma 可知，不论在轨道 1 还是在轨道 2 运行，卫星在 P 点的加速度都相
10、同，在轨道 1 运行时，P 点在不同位置有不同的加速度，B 正确，C 错误；卫星在轨道 2 的不同位置，速度方向一定不相同，D 项错误答案 B有的考生根据 GMmr2 mv2r，错误的推出选项 A 正确实际上卫星在轨道 1 上经过 P 点时的曲率半径 r1，不等于轨道 2 的半径 r，应当小于轨道 2 的半径因此上式只对卫星在轨道 2 上经过 P 点时成立卫星在轨道 1 上经过 P 点时，应写成 GMmr2 mv21r1，r1r，故 v1 小于 v 2(多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在 P 点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道
11、上的 P点，远地点为同步圆轨道上的 Q 点)，到达远地点 Q 时再次变轨，进入同步轨道设卫星在近地圆轨道上运行的速率为 v1，在椭圆形转移轨道的近地点 P 点的速率为 v2，沿转移轨道刚到达远地点Q 时的速率为 v3，在同步轨道上的速率为 v4，三个轨道上运动的周期分别为 T1、T2、T3，则下列说法正确的是()A在 P 点变轨时需要加速，Q 点变轨时要减速B在 P 点变轨时需要减速，Q 点变轨时要加速CT1T2v1v4v3解析：选 CD.卫星在椭圆形转移轨道的近地点 P 时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即 GMmR21 v1；同理，由于卫星在转移轨道上 Q 点做离心运动，可知
12、 v3v4，由以上所述可知选项 D 正确由于轨道半径 R1R2R3，由开普勒第三定律r3T2k(k 为常量)得 T1T2T3，故选项 C 正确(12 分)质量为 m 的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为 3R(R 为月球半径)的圆周运动当它们运动到轨道的 A 点时，登月器被弹离，航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆轨道登上月球表面的 B 点，在月球表面逗留一段时间后，经快速启动仍沿原椭圆轨道回到分离点 A 与航天飞机实现对接，如图所示已知月球表面的重力加速度为 g 月科学研究表明，天体在椭圆轨道上运行的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比(1)登月
13、器与航天飞机一起在圆轨道上绕月球运行的周期是多少？(2)若登月器被弹离后，航天飞机的椭圆轨道的半长轴为 4R，为保证登月器能顺利返回 A 点实现对接，则登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？思路点拨 解答本题的关键是掌握以下两点：(1)理解万有引力与重力的关系；(2)能够从题意中挖掘信息，运用数学知识解决物理中的多解问题解析(1)设登月器和航天飞机在半径为 3R 的圆轨道上运行时的周期为 T，因其绕月球做圆周运动，所以满足GMm（3R）2m2T23R(2 分)同时，月球表面的物体所受重力和引力的关系满足GMmR2 mg 月(2 分)联立以上两式得 T63Rg月.(2 分)(2)设登月器在小椭圆轨道运行的周期是 T1，航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是 T2.依题意，对登月器有T2（3R）3T21（2R）3，解得 T12 69 T(2 分)对航天飞机有T2（3R）3T22（4R）3，解得 T28 39 T(2 分)为使登月器沿原椭圆轨道返回到分离点 A 与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间 t 应满足tnT2T1(其中 n1，2，3，)故 t8 39 nT2 69 T4(4n 2)Rg月(其中 n1，2，3)(2 分)答案(1)63Rg月(2)4(4n 2)Rg月(n1，2，3，)本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放