1、专题四机械能守恒定律的综合应用1多物体组成的系统机械能守恒问题(1)多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的。(2)关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。(3)机械能守恒定律表达式的选取技巧当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1Ep1Ek2Ep2或EkEp来求解。当研究对象为两个物体组成的系统时：a若两个物体的势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式EkEp来求解。b若A物体的动能和势能都在增加(或减少)，B物体的动能和势能都在减少(或增加)，可优先考虑用表达式EAEB来求解。(4)机械能
2、守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律分析系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接。这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系。系统内两个物体通过轻绳连接。如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒。解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等。系统内两个物体通过轻杆连接。轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体转动的角速度相等。2链条类(或液柱类)物体的机械能守恒问题链条类(或液柱类)物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置，进而确定物体
3、重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是参考平面的选取；二是链条(或液注)的每一段重心的位置变化和重力势能变化。3利用机械能守恒定律分析多过程问题机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难度较大。解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不能盲目应用机械能守恒定律。典型考点一多物体组成的系统机械能守恒问题1(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平方向放置，静止释放小球后，b球向下转动，a球向上转动，在转过90的过程中，以下说法正确的是
4、()Ab球的重力势能减少，动能减少Ba球的重力势能增大，动能增大Ca球和b球的机械能总和保持不变Da球和b球的机械能总和不断减小答案BC解析在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，两球动能均增加，同时b球重力势能减小，a球重力势能增大，A错误，B正确；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。2如图所示的滑轮光滑轻质，物体A、B分别系在轻绳两端并跨过定滑轮，物体A的质量M12 kg，物体B的质量M21 kg，物体A离地高度为H0.5 m。物体A与物体B从静止开始释放，取g10 m/s2，物体A由静止下落0.3 m时的速度为()A. m/s B3 m
5、/s C2 m/s D1 m/s答案A解析对A、B组成的系统运用机械能守恒定律得，(M1M2)gh(M1M2)v2，代入数据解得v m/s，故A正确，B、C、D错误。3(多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则()Aa落地前，轻杆对b一直做正功Ba落地时速度大小为Ca下落过程中，其加速度大小始终不大于gDa落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg答案BD解析设a沿杆方向的分速度与a竖直方向的合速度夹角为，则因沿杆方向a、b的分速度相等，可写出等式：vac
6、osvbsin，a滑到最低点时，90，所以b的速度为0，又因b的初速度也为0，可知此过程中b的动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功后做负功，A错误；a、b所组成的系统机械能守恒，所以当a滑到地面时，有mv0mgh，解得va，B正确；轻杆落地前，当a的机械能最小时，b的动能最大，此时轻杆对a、b无作用力，故C错误，D正确。4(多选)如图所示，一轻质弹簧固定在光滑杆的下端，弹簧的中心轴线与杆重合，杆与水平面间的夹角始终为60，质量为m的小球套在杆上，从距离弹簧上端O点2x0的A点静止释放，将弹簧压至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是()A小球从接触弹簧到将弹簧
7、压至最低点B的过程中，其加速度一直减小B小球运动过程中最大动能可能为mgx0C弹簧劲度系数大于D弹簧最大弹性势能为mgx0答案CD解析小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，弹簧对小球的弹力逐渐增大，开始时弹簧的弹力小于小球的重力沿杆向下的分力，小球做加速运动，随着弹力的增大，合力减小，加速度减小，直到弹簧的弹力等于小球的重力沿杆向下的分力时加速度为0，然后，弹簧的弹力大于小球的重力沿杆向下的分力，随着弹力的增大，合力沿杆向上增大，则加速度增大，所以小球的加速度先减小后增大，A错误；小球滑到O点时的动能为Ek2mgx0sin60mgx0，小球的合力为零时动能最大，此时弹簧处于压缩状态，位置
8、在O点下方，所以小球运动过程中最大动能大于mgx0，不可能为mgx0，B错误；在速度最大的位置有mgsin60kx，得k，因为xx0，所以k，C正确；小球从A到B的过程，对小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得：弹簧最大弹性势能Epmmg3x0sin60mgx0，D正确。5. 如图所示，半径为r、质量不计的圆盘，盘面与地面垂直，圆心处有一垂直于盘面的水平固定轴O。在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点处固定一个质量也为m的小球B，放开圆盘让其自由转动，不计空气阻力，重力加速度为g，问A球转到最低点时，其速度是多大？答案解析选取初始时A球所在水平面为参考平面，则初始时系统
9、的总机械能为E1mg当A球转到最低点时，设其速度为vA，B球的速度为vB，则A、B组成的系统的总机械能为E2mgrmvmv由于A、B两球的角速度相同，设A球在最低点时的角速度为，则vAr，vB，可知vB根据机械能守恒定律得E1E2可解得vA即A球转到最低点时其速度vA。6. 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，求无初速度释放后杆转到竖直位置时，A、B两小球的速度各是多少？(重力加速度为g)答案vAvB解析把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做
10、功，系统的机械能守恒。以A球在最低点时所在的平面为参考平面，则初状态：系统的动能为Ek10，重力势能为Ep12mgL末状态(即杆到竖直位置)：系统的动能为Ek2mvmv，重力势能为Ep2mg由机械能守恒定律得2mgLmgLmvmv又因为在自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA2vB联立解得vA，vB。7如图所示，质量均为m的物体A和B，通过轻绳跨过定滑轮相连。斜面光滑，倾角为，不计绳子和滑轮之间的摩擦，重力加速度为g。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，使A、B两物体均静止。现将手撤去。(1)求A物体将要落地时的速度为多大？(2)A物体落地后，B物体由于惯性
11、将继续沿斜面向上运动，则B物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大？答案(1)(2)解析(1)撤去手后，A、B两物体同时运动，并且速率相等，由于两物体构成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒。设A物体将要落地时的速度大小为v，由机械能守恒定律得mghmghsin(mm)v2，解得v。(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没有拉力，对B物体而言，只有重力做功，故机械能守恒。设其到达的最高点离地高度为H，由机械能守恒定律得mv2mg(Hhsin)，解得H。典型考点二质量分布均匀的链条类(或液柱类)物体的机械能守恒问题8. 如图所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，开
12、始时两边液面高度差为h，管中液柱总长为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(不计液体内能的变化)()A. B. C. D.答案A解析在液柱流动过程中除受重力作用外，还受大气压力作用，但在液体流动过程中，右侧大气压力做的正功等于左侧大气压力做的负功，所以满足机械能守恒条件。以原来左侧液面处为重力势能的参考平面，则由机械能守恒定律得(设高h的液柱质量为m)，mgmg(4m)v2，解得v，A正确。9如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大？
13、答案解析设斜面最高点所在水平面为参考平面，链条总质量为m，开始时左半部分的重力势能Ep1gsin，右半部分的重力势能Ep2g，机械能E1Ep1Ep2gL(1sin)。当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能Epmg，动能Ekmv2，机械能E2EpEkLmv2。由机械能守恒定律可得E1E2，所以(1sin)mv2，整理得v。典型考点三利用机械能守恒定律分析多过程问题10(多选)如图所示，A、B、C、D四选项图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，
14、且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为竖直管，下部为与斜面相连的圆弧，管的高度大于h；D图中是个半圆形轨道，其直径等于h。如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，则四个选项图中小球进入右侧轨道后能到达h高度的是()答案AC解析对A、C两图，小球到右侧最高点的速度可以为零，由机械能守恒定律可得，小球进入右侧轨道后能到达的高度仍为h，故A、C正确；B图右侧轨道最大高度小于h，小球到轨道最上端后做斜抛运动，小球到达最高点时仍有水平速度，因此，小球能到达的最大高度小于h，B错误；D图右侧为圆形轨道，若小球能通过最高点，则必须具有一定速度，因此，小球沿轨道不可能到达h高度
15、，D错误。11如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M为半径为R1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m0.01 kg的小钢珠。假设某次发射的钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，取g10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为()A0.10 J B0.15 J C0.20 J D0.25 J答案B解析小钢珠恰好经过M的上端点时有mgm，所以v m/s。全过程中，小钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律得EpmgRmv20.15 J，B正确。12如图，把
16、一根内壁光滑的细圆管弯成圆周形状，且竖直放置，管口A竖直向上，管口B水平向左，一小球从管口A的正上方h1高处自由落下，经细管恰能到达细管最高点B处。若小球从A管口正上方h2高处自由落下，进入A管口运动到B点后又从空中飞落进A口，则h1h2为()A12 B23 C45 D56答案C解析当小球从管口A的正上方h1高处自由落下，到达细管最高点B处时的速度为零，则根据机械能守恒定律有(取管口A所在水平面为参考平面)，mgh1mgR，解得h1R；当从A管口正上方h2高处自由落下时，根据平抛运动规律有RvBt，Rgt2，解得vB ，根据机械能守恒定律有mgh2mgRmv，解得h2，故h1h245，C正确。
17、13. 如图，光滑水平面AB与竖直面内的光滑半圆形固定轨道在B点相切，半圆形轨道半径为R2.5 m，一个质量m0.5 kg的小物块压缩弹簧，静止在A处，释放小物块，小物块离开弹簧后经B点进入轨道，经过C点时对轨道的压力为其重力的3倍。取g10 m/s2。求：(1)小物块经过C点时速度的大小；(2)弹簧对小物块的弹力做的功。答案(1)10 m/s(2)50 J解析(1)在C点，有：Nmgm，N3mg，解得：vC210 m/s。(2)从A到C，设弹簧弹力对小物块做的功为W，由机械能守恒定律有：Wmv2mgR，代入数据解得：W50 J。14如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段倾斜的直轨道和与之
18、相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。答案Rh5R解析以轨道最低点所在水平面为参考平面，设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得mgh2mgRmv2物块在圆形轨道最高点受的力为重力mg、轨道的压力N。重力与压力的合力提供向心力，有mgNm物块能通过最高点的条件是N0由式得v由式得hR按题的要求，N5mg，由式得v由式得h5Rh的取值范围是Rh5R。1. (多选)如图所示
19、，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时与A点间的竖直高度差为h，速度为v，则()A由A到B重力做的功等于mghB由A到B重力势能减少mv2C由A到B弹簧弹力做功为mghD小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mghmv2答案AD解析重力做功只与初末位置的高度差有关，则由A至B重力做功为mgh，故A正确；由A至B重力做功为mgh，则重力势能减少mgh，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，设小球在B处时弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律有mghEpmv2，故mghmv2，Epmghmv2，弹簧弹力做功W弹
20、EpEpmv2mgh，故B、C错误，D正确。2(多选)如图所示，质量均为m的a、b两球固定在轻杆的两端，杆可绕水平轴O在竖直面内无摩擦转动，已知两球距轴O的距离L1L2，现在由水平位置静止释放，在a下降过程中()Aa、b两球角速度相等Ba、b两球向心加速度相等C杆对a、b两球都不做功Da、b两球机械能之和保持不变答案AD解析因为a、b两球围绕同一个固定轴转动，所以角速度相等，A正确。a2r，半径不同，向心加速度不同，B错误。a球和b球组成的系统机械能守恒，D正确。b球的动能和势能都增加，故杆对b球做正功，对a做负功，C错误。3. (多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架。在A处
21、固定质量为2m的小球甲，B处固定质量为m的小球乙，支架悬挂在O点，可绕O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB竖直，放手后开始运动。在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是()A甲球到达最低点时速度为零B甲球机械能减少量等于乙球机械能增加量C乙球向左摆动所能达到的最高位置应高于甲球开始运动时的高度D当支架从左至右回摆时，甲球一定能回到起始高度答案BCD解析甲球和乙球组成的系统机械能守恒，可判断只有A错误。4如图所示，地面上竖直放一根轻弹簧，其下端和地面固定连接，一物体从弹簧正上方距弹簧一定高度处自由下落，则()A物体和弹簧接触时，物体的动能最大B物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体
22、的动能和弹簧弹性势能的和不断增加C物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和先增加后减少D物体在反弹阶段动能一直增加，直到物体脱离弹簧为止答案C解析物体在下落过程中，只受重力和弹簧弹力作用，总的机械能是守恒的；物体和弹簧接触后，受重力和向上的弹力作用，物体下落阶段，先是重力大于弹力，然后是弹力大于重力，故物体先加速后减速，动能先增加后减少，即物体和弹簧接触时，物体的动能未达到最大，A错误。同理，物体在反弹阶段，未脱离弹簧时，动能先增加后减少，D错误。物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，先下落后上升，物体的重力势能先减少后增加，由于物体和弹簧组成的系统机械能守恒，所以物体的动能
23、和弹簧弹性势能的和先增加后减少，故C正确，B错误。5如图，一轻弹簧左端固定在长木块B的左端，右端与小木块A连接，且A、B及B与地面间接触面光滑。开始时，A和B均静止，现同时对A、B施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中，对A、B和弹簧组成的系统(整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度)，下列说法正确的是()A由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒BF1、F2分别对A、B做正功，故系统机械能不断增加C当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，系统机械能最大D系统机械能最大时，两物体动能都为零答案D解析当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，A和B受力平衡，加速度为零，此时
24、速度达到最大值，故各自的动能最大。由于F1、F2先对系统做正功，当两物体速度减为零时，此时系统机械能最大；之后由于弹簧的弹力大于F1、F2，两物体再加速相向运动，F1、F2对系统做负功，系统机械能开始减少，只有D正确。6如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上横截面半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是()A2R B. C. D.答案C解析设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgRmgR(
25、2mm)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，又上升的高度为h，解得hR，故B上升的总高度为RhR，故C正确。7(多选)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是()A小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为2B小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为2C小球能从细管A端水平抛出的条件是H2RD小球能从细管A端水平抛出的最小高度HminR答案BC解析因为轨道光滑，所以小球从D点运动到A点的过程中机械能守恒，以地面为参考平面，根
26、据机械能守恒定律有mgHmg(RR)mv，解得vA，从A端水平抛出到落到地面上，根据平抛运动规律有2Rgt2，水平位移xvAt2，故A错误，B正确；因为小球能从细管A端水平抛出的条件是vA0，所以要求H2R，故C正确，D错误。8. 如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量都为m，开始时细绳伸直，用手托着物体A，使弹簧处于原长且A离地面的高度为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是()A弹簧的劲度系数为B此时弹簧的弹性势能等于mghmv2C此时物体B的速度大小也为vD此时物体A的加速
27、度大小为g，方向竖直向上答案A解析由题可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力大小，即Fmg，弹簧伸长的长度为xh，由Fkx得k，故A正确；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mghmv2Ep，则弹簧的弹性势能Epmghmv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力，此时B的速度恰好为零，故C错误；根据牛顿第二定律，对A有Fmgma，Fmg，得a0，故D错误。9(多选)如图所示，小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切阻力。下列说法正确的是()A小球落地点离O点的水平距离为2RB小球落地时的动能为C小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为零D若将半圆弧轨道
28、上部的圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高0.5R答案ABD解析小球恰能通过P点，则在P点时重力提供向心力，大小为mg，C错误；由题意知，在P点时mgm，故小球经P点时的速度大小v，由2Rgt2、xvt得小球落地点离O点的水平距离为2R，A正确；根据机械能守恒得2mgREkmv2，解得小球落地时的动能Ek2mgRmv2mgR，B正确；由mghmgR，轨道上部的圆弧截去后小球能达到的最大高度h2.5R，比P点高0.5R，D正确。10如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L，先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B在水
29、平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为时，下列说法正确的是(不计一切摩擦)()A杆对小球A做功为mgLB小球A和B的速度都为C小球A、B的速度分别为和D杆与小球A和B组成的系统机械能减少了mgL答案C解析当小球A沿墙下滑距离为L时，设此时A球的速度为vA，B球的速度为vB。根据机械能守恒定律得：mgmvmv，两球沿杆方向上的速度相等，则有：vAcos60vBcos30，联立两式解得：vA，vB。对A使用动能定理有：mgW杆mv0，代入A的速度，解得W杆mgL，故A错误；由以上分析得：vA，vB，故B错误，C正确；对于杆与小球A和B组成的系统而言，运动过程中只有重力做功，故系统机械能守
30、恒，D错误。11(多选)质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的摩擦力为F1。物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。在这个过程中，以下结论正确的是()A物块到达小车最右端时，具有的动能为(FF1)lB物块到达小车最右端时，小车具有的动能为F1xC摩擦力对物块所做的功为F1(lx)D物块和小车增加的机械能为Fx答案BC解析由动能定理得，对小物块有：(FF1)(lx)Ek1，A错误；对小车有F1xEk2，B正确；摩擦力对物块所做的功为F1(lx)，C正确；小
31、物块和小车增加的机械能为EEk1Ek2FlFxF1l，D错误。12杂技演员甲的质量为M80 kg，乙的质量为m60 kg。跳板轴间光滑，质量不计。甲、乙一起表演节目，如图所示。开始时，乙站在B端，A端离地面1 m，且OAOB。甲先从离地面H6 m的高处自由跳下落在A端。当A端落地时，乙在B端恰好被弹起。假设甲碰到A端时，由于甲的技艺高超，没有能量损失。分析过程假定甲、乙可看作质点。(取g10 m/s2)问：(1)当A端落地时，甲、乙两人速度大小各为多少？(2)若乙在B端的上升可以看成是竖直方向，则乙离开B端还能被弹起多高？答案(1)2 m/s2 m/s(2)3 m解析(1)甲跳下直到B端弹起到
32、最高点的过程中，甲、乙组成的系统机械能守恒，以地面为参考平面，由机械能守恒定律有：MgHMvmvmgh而v甲v乙，h1 m联立可解得v甲v乙2 m/s。(2)乙上升到最高点的过程中，机械能守恒，有：mvmgh1，解得h13 m。13如图所示，若将质量为m的小球拉到绳与水平方向成30角的位置A处由静止释放，重力加速度为g，求小球到达最低点C时绳对小球的拉力是多大？答案mg解析小球先做自由落体运动，到绳与水平方向再次成30角时，绳被拉直，然后小球做圆周运动，如图所示，绳被拉直时小球下降的高度为L，设此时小球的速度为v1，根据自由落体运动的规律有v1将v1分解为沿绳方向的速度v和垂直于绳方向的速度v
33、，当绳绷直的瞬间，v变为0vv1cos绳绷直后，小球在竖直平面内做圆周运动，设小球到达最低点C时的速度为v2，以最低点C所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律有mvmvmgL(1cos60)设在C点绳对小球的拉力为F，根据牛顿第二定律有Fmgm联立式解得Fmg。14长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，取桌面为参考平面。(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？(2)刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少？(3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？答案(1)(2)(3)解析(1)开始时链条的重力势能Ep1(2)刚滑离桌面时，链
34、条的重力势能Ep2mg(3)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v，根据机械能守恒定律Ep10Ep2mv2联立式得v。15. 如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h0.2 m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角137，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角253时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆，sin370.6，sin530.8，g取10 m/s2)答案1.11 m/s1.63 m/s解析设A、B的质量均为m，绳与水平杆夹角253时，A的速度为vA，B的速度为vB，此过程中B
35、下降的高度为h1，由机械能守恒定律有mgh1mvmv其中h1，vAcos2vB解得vA1.11 m/s当390时，A的速度最大，设为vAm，此时B的速度为零，设此过程中B下降的高度为h2，由机械能守恒定律有mgh2mv，其中h2h解得vAm1.63 m/s。16如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态，同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为
36、g，求：(1)a球离开弹簧时的速度大小va；(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。答案(1)(2)2(3)gR解析(1)由a球恰好能通过A点知m1gm1a球从弹出到运动到A点，由机械能守恒定律有m1vm1vm1g2R，得va。(2)对于b球，从弹出到运动到B点，由机械能守恒定律有m2vm2g10R，得vb2。(3)由机械能守恒定律得Epm1vm2vgR。17. 如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道的内径略大于小球直径，管道中心线到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O点的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从上端口飞
37、出后落在C点，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍。求：(1)释放点距A点的竖直高度；(2)落点C与A点的水平距离。答案(1)3R(2)(21)R解析(1)设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍，所以有9mgmg。设B点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得mg(hR)mv，解得h3R。(2)设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A点的水平距离为x。由机械能守恒定律得mvmvmg2R，由平抛运动的规律得Rgt2，Rxv2t，解得x(21)R。18如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，
38、DEF是半径为r0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合。现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放。(1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h。(取g10 m/s2)答案(1)0.2 m(2)0.1 m解析(1)小球从ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，则：mgHmv2小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足：mg联立并代入数据得：H0.2 m。(2)若hHmin0.2 m，小球过C点后做平抛运动，设球经C点时的速度大小为vx，则击中E点时：竖直方向：rgt2水平方向：rvxt由机械能守恒定律有：mghmv联立并代入数据得h0.1 m。