1、第二章单元质量评估第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线yx2的准线方程是()Ay1By2Cx1 Dx2答案A解析将抛物线方程化为标准形式求解yx2，x24y.准线方程为y1.2椭圆3x24y212的两个焦点之间的距离为()A12 B4C3 D2答案D解析原式1c1，2c2.3已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B.C. D1答案D解析因为双曲线的方程为1，所以e214，因此a21，a1.选D.4已知双曲线y21(a0)的右焦点与抛物线y28x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是()Ay
2、x ByxCyx Dyx答案D解析y28x焦点是(2，0)，双曲线y21的半焦距c2.又虚半轴长b1且a0，所以a.双曲线的渐近线方程是yx.5已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为yx，则此双曲线的离心率为()A. B.C. D5答案B解析由已知可设双曲线方程为1(a0，b0)，b2a，b24a2，c2a24a2.c25a2，5，e.6已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0，1) B.C. D.答案C解析依题意cb，即c2b2a2c2，2c2a2，故e，又0e1，0e0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭
3、圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B9双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，若p为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，3) B(1，3C(3，) D3，)答案B解析由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|F1F2|2c，|PF1|2|PF2|，故|PF2|2a，3|PF2|2c，即6a2c，e3，又e1，故1n0)和双曲线1(ab0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值是()Ama B.(ma)Cm2a2 D.答案A解析取P在双曲线的右支上，则解得|PF1|，|PF2|，|P
4、F1|PF2|()()ma.11已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B.C3 D2答案A解析假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点设椭圆的方程为1(ab0)，双曲线的方程为1(m0，n0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF1|am，|PF2|am，在PF1F2中，4c2(am)2(am)22(am)(am)cosa23m24c234，则，当且仅当a3m时，等号成立故选A.12已知动点P(x，y)在椭圆C：1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|1且0，则|的最小值为()A. B
5、3C. D1答案A解析在椭圆C：1中，a5，b4，c3，所以e.M在以F为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，所以PF最小时，切线长最小设P(x0，y0)，由焦半径公式可得|PF|aex05x0，所以x05时，|PF|最小，最小值为2.此时|PM|.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13一动点到直线y1的距离比到点(0，3)的距离小2, 则这个动点的轨迹方程为_答案x212y解析由题意知，动点到直线y3的距离等于它到点(0，3)的距离，所以动点的轨迹是抛物线，方程为x212y.14已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，
6、D两点的椭圆的离心率为_答案1解析设正方形边长为1，则|AB|2c1，c，|AC|BC|12a，a.e1.15以抛物线y28x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是xy0的双曲线方程为_答案1解析抛物线y28x的焦点F为(2，0)，设双曲线方程为x23y2，(2)2，9，双曲线方程为1.16(2018浙江)已知点P(0，1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大答案5解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2m，所以x22m(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大，
7、最大值为2.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)如图所示，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率解析方法一：根据题图设焦点坐标为F1(c，0)、F2(c，0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，b)在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2.而|MF1|MF2|b2a，整理，得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a，所以.所以e21，所以e.方法二：设M(c，b)，代入椭圆方程，得1.所以，所以，即e.18(12分)已知Q点是双曲线1(a，
8、b0)上异于两顶点的一动点，F1，F2是双曲线的左、右焦点从F2向F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P，求P点的轨迹方程解析如图所示，连接OP，则由角平分线的性质，知|AQ|F2Q|.由三角形中位线性质，知|OP|F1A|.|OP|(|QF1|QA|)(|QF1|QF2|)若点Q在双曲线的左支上时，应为|OP|(|QF2|QF1|)，即|OP|2aa，P点的轨迹方程为x2y2a2(y0)19(12分)点A，B分别是椭圆1的长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.求点P的坐标解析由已知可得点A(6，0)，B(6，0)，F(4，0)，设点P的坐标为(x，y
9、)，则(x6，y)，(x4，y)，由已知，得解得x或x6.由于y0，所以只能取x，于是y.所以点P的坐标是.20(12分)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论解析(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)直线AB与圆x2y22相切证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t，
10、故直线AB的方程为x，圆心O到直线AB的距离d.此时直线AB与圆x2y22相切当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心O到直线AB的距离d.又x022y024，t，故d.此时直线AB与圆x2y22相切21(12分)(2019课标全国，文)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切(1)若A在直线xy0上，求M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解析(1)M过点A，B，圆心在AB的中垂线上，即直线yx上，设圆的方程为(xa)2(ya)2r2，又|AB|4，根据|AO|2|MO|
11、2r2，得42a2r2.M与直线x20相切，|a2|r，联解方程得a0，r2或a4，r6.圆M的半径为2或6.(2)设M的坐标为(x，y)，根据条件|AO|2|MO|2r2|x2|2，即4x2y2|x2|2，化得y24x，即M的轨迹是以(1，0)为焦点，以x1为准线的抛物线，存在定点P(1，0)，使|MA|MP|(x2)(x1)1.22(12分)已知两定点F1(，0)，F2(，0)，满足条件|2的点P的轨迹是曲线E，直线ykx1与曲线E交于A、B两点(1)求k的取值范围；(2)如果|AB|6，且曲线E上存在点C，使m，求m的值和ABC的面积S.解析 (1)由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(，
12、0)，F2(，0)为焦点的双曲线的左支，且c，a1.易知b1.故曲线E的方程为x2y21(x1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意建立方程组消去y，得(1k2)x22kx20.又已知直线与双曲线左支交于A、B两点，有解得k1.(2)因为|AB|x1x2|2.依题意得26.整理后得28k455k2250.k2，或k2.但k1，k.故直线AB的方程为xy10.设C(xc，yc)，由已知m，得(x1，y1)(x2，y2)(mxc，myc)(xc，yc)(m0)又x1x24，y1y2k(x1x2)228.点C.将点C的坐标代入曲线E的方程，得1.得m4.但当m4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意m4.C点坐标为(，2)C到AB距离为.ABC的面积S6.