1、第5讲幂函数与二次函数最新考纲考向预测1.了解幂函数的概念.2.结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况.3.掌握二次函数的图象和性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.命题趋势以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.核心素养逻辑推理、直观想象1幂函数(1)定义形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数常见的五类幂函数为yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)性质幂
2、函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(5)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(易错题)已知幂函数yf(x)的图象经过点，则f(2)()A.B4C.D.解析：选C.设f(x)x，因为图象过点，所以f(4)4，解得，所以f(2)2.3已知函数f(x)x24ax在区间(，6)上单调递减，则a的取值范围是(
3、)A3，)B(，3C(，3)D(，3解析：选D.函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)上单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，所以2a6，解得a3，故选D.4函数f(x)x22x3在闭区间0，3上的最大值为_，最小值为_解析：f(x)(x1)22，0x3，所以当x1时，f(x)min2；当x3时，f(x)max6.答案：625已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_解析：因为函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，所以解得a.答案：幂函数的图象及性质题组练透1已知幂函数f(x)mxn的图象过点(，2)，设af(m)
4、，bf(n)，cf(ln 2)，则()AcbaBcabCbcaDabmln 2，故cab，故选B.2幂函数yxm22m3(mZ)的图象如图所示，则实数m的值为()A3B0C1D2解析：选C.因为函数y在(0，)上单调递减，所以m22m30，解得1m3.因为mZ，所以m0，1，2.而当m0或2时，f(x)x3为奇函数，当m1时，f(x)x4为偶函数，所以m1.3(2020苏锡常镇四市模拟)若幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A1m0n1B1n0mC1m0nD1n0m0时，yx在(0，)上为增函数，且01时，图象上凸，所以0m1；当0时，yx在(0，)
5、上为减函数，不妨令x2，根据图象可得212n，所以1n0，综上所述，选D.4若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a0，若在(0，)上单调递减，则4ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1，2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a，又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确故选B.【答案】B识别二次函数图象应学会“三看” 角度二二次函数的单调性问题 (1)(2021南京调研)函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是单调递减的，
6、则实数a的取值范围是()A3，0)B(，3C2，0D3，0(2)二次函数f(x)ax2bxc(xR)的最小值为f(1)，则f()，f，f()的大小关系是()Af()ff()Bff()f()Cf()f()fDf()f()f【解析】(1)当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减，知解得3a|1|1|，所以f()f()f.【答案】(1)D(2)D【引申探究】(变条件)若本例(1)中，函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间是1，)，则a_解析：由题意知f(x)必为二次函数且a0时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，最大值为
7、f(2)8a14，解得a；(3)当a0时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 1函数f(x)ax22x3在区间1，3上为增函数的充要条件是()Aa0Ba0C0aDa1解析：选D.当a0时，f(x)为减函数，不符合题意；当a0时，函数f(x)ax22x3图象的对称轴为x，要使f(x)在区间1，3
8、上为增函数，则或解得a1.故选D.2如果函数f(x)x2bxc对任意的实数x都有f(1x)f(x)，那么()Af(0)f(2)f(2)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(2)f(0)f(2)f(0)故选A.3若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则a的取值集合为_解析：因为函数f(x)x22x1(x1)2，所以对称轴为x1.因为f(x)在区间a，a2上的最小值为4，所以当1a时，f(x)minf(a)(a1)24，解得a1(舍去)或a3，当a21，即a1时，f(x)minf(a2)(a1)24，解得a1(舍去)或a3，当a1a2，即1a1时，f(x)minf(1)04，故a的取值集合为.答案：4已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，求实数m的取值范围解：作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.