1、2016-2017学年天津市六校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1在等差数列an中，a5=33，公差d=3，则201是该数列的第（）项A60B61C62D632设xR，向量=（x，1），=（1，2），且，则|+|=（）ABC2D103在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（ab）2+6，C=，则ABC的面积（）A3BCD34已知函数f（x）=，则f（0）+f（log232）=（）A19B17C15D135将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，
2、则y=g（x）图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=CD6定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在3，2上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则（）Af（sin）f（sin）Bf（sin）f（cos）Cf（cos）f（cos）Df（sin）f（cos）7已知数列an满足a1=1，an+1=（nN*），若bn+1=（n2）（+1）（nN*），b1=，且数列bn是单调递增数列，則实数的取值范围是（）ABCD8设函数f（x）=，关于x的方程f（x）2+mf（x）1=0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A（，e）B（e，+）C（0，e）D（1，e）二、填空题（每小题5分，共6
3、小题，共30分）9设复数z满足（z+i）i=3+4i（i为虚数单位），则z的模为10计算（2x+）dx=11已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）f（x）=1对于xR恒成立，且f（x）0，则f（2015）=12若=3，tan（）=2，则tan（2）=13D为ABC的BC边上一点，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中0，0，则=14已知奇函数f（x）定义域为（，0）（0，+），f（x）为其导函数，且满足以下条件x0时，f（x）；f（1）=；f（2x）=2f（x），则不等式2x2的解集为三、解答题（共6小题，共80分）15（13分）已知函数f（x）=2sinxcos（x+）+
4、（）求函数f（x）的单调递减区间；（）求函数f（x）在区间0，上的最大值及最小值16（13分）设函数f（x）=lnxax2bx（1）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=0，b=1时，方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围17（13分）已知数列bn的前n项和（）求数列bn的通项公式；（）设数列an的通项，求数列an的前n项和Tn18（13分）已知函数f（x）=x22ax+lnx（aR），x（1，+）（1）若函数f（x）有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；（2）对于函数f（x）、f1（x）、f2（x），若对于区间D上的任意一个x，都有f1（x）f（x
5、）f2（x），则称函数f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间D上的一个“分界函数”已知f1（x）=（1a2）lnx，f2（x）=（1a）x2，问是否存在实数a，使得f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+）上的一个“分界函数”？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由19（14分）已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，Sn=an2+an，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足：b1=1，bnbn1=2an（n2），求数列的前n项和Tn（3）若Tn（n+4）对任意nN*恒成立，求的取值范围20（14分）设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx（）若
6、f（x）在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；（）讨论函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f（x0）02016-2017学年天津市六校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1（2016衡阳校级模拟）在等差数列an中，a5=33，公差d=3，则201是该数列的第（）项A60B61C62D63【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意易得通项公式，令其等于201解n值可得【解答】解：由题意可得等差数列an的通项公式an=a5+（n5）d=33
7、+3（n5）=3n+18，令an=3n+18=201可得n=61故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题2（2012重庆）设xR，向量=（x，1），=（1，2），且，则|+|=（）ABC2D10【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】计算题【分析】通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模【解答】解：因为xR，向量=（x，1），=（1，2），且，所以x2=0，所以=（2，1），所以=（3，1），所以|+|=，故选B【点评】本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力3（2016海南校级二模）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（ab）2+
8、6，C=，则ABC的面积（）A3BCD3【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：c2=（ab）2+6，c2=a22ab+b2+6，即a2+b2c2=2ab6，C=，cos=，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC=，故选：C【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键4（2016贺州模拟）已知函数f（x）=，则f（0）+f（log232）=（）A19B17C15D13【考点】分段函数的应用【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用【分析】利用函数的解析式，真假求解函数值即可【解答】解
9、：函数f（x）=，则f（0）+f（log232）=log24+1+=2+1+=19故选：A【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力5（2014许昌一模）将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=CD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的对称性【专题】作图题【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得到g（x）=3sin（2x），从而得到g（x）图象的一条对称轴是【解答】解：将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐
10、标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，可得y=3sin2（x）+=3sin（2x）的图象，故g（x）=3sin（2x）令 2x=k+，kz，得到 x=+，kz 则得 y=g（x）图象的一条对称轴是 ，故选：C【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，函数y=Asin（x+）的图象的对称轴，属于中档题6（2016秋天津期中）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在3，2上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则（）Af（sin）f（sin）Bf（sin）f（cos）Cf（cos）f（cos）Df（sin）f（cos）【
11、考点】函数奇偶性的性质【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2，在3，2上是减函数，可得f（x）在1，0上为减函数，因为f（x）为偶函数，所以f（x）在0，1上为单调增函数在根据，是锐角三角形的两个内角，利用三角函数诱导公式化简可得答案【解答】解：由题意：可知f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的函数，f（x）在3，2上为减函数，f（x）在1，0上为减函数，又f（x）为偶函数，根据偶函数对称区间的单调性相反，f（x）在0，1上为单调增函数在锐角三角形中，即，0，sinsin（）=cos；f（x）在0，1上为单调增函数所以f（sin）
12、f（cos），故选：D【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多属于中档题7（2016连城县校级模拟）已知数列an满足a1=1，an+1=（nN*），若bn+1=（n2）（+1）（nN*），b1=，且数列bn是单调递增数列，則实数的取值范围是（）ABCD【考点】数列递推式【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】由数列递推式得到+1是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入bn+1=（n2）2n，由b2b1求得实数的取值范围，验证满足bn+1=（n2）2n为增函数得答案【解答】解：由an+1=得，则，+1=2（+1）由a1
13、=1，得+1=2，数列+1是首项为2，公比为2的等比数列，+1=22n1=2n，由bn+1=（n2）（+1）=（n2）2n，b1=，b2=（12）2=24，由b2b1，得24，得，此时bn+1=（n2）2n为增函数，满足题意实数的取值范围是（，）故选：C【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（2016秋天津期中）设函数f（x）=，关于x的方程f（x）2+mf（x）1=0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A（，e）B（e，+）C（0，e）D（1，e）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应
14、用【分析】求出f（x）的单调性和极值，判断方程f（x）=k的根的情况，令g（x）=x2+mx1，根据f（x）=k的根的情况得出g（x）的零点分布情况，利用零点的存在性定理列出不等式求出m的范围【解答】解：f（x）=，当xe时，f（x）0，当0xe时，f（x）0，f（x）在（0，e上单调递增，在（e，+）上单调递减fmax（x）=f（e）=作出f（x）的大致函数图象如下：由图象可知当0k时，f（x）=k有两解，当k0或k=时，f（x）=k有一解，当k时，f（x）=k无解令g（x）=x2+mx1，则g（f（x）有三个零点，g（x）在（0，）上有一个零点，在（，0上有一个零点g（x）的图象开口向上，
15、且g（0）=0，g（x）在（，0）上必有一个零点，g（）0，即，解得me故选B【点评】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理，二次函数的性质，属于中档题二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9（2016秋天津期中）设复数z满足（z+i）i=3+4i（i为虚数单位），则z的模为【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数【分析】先将z化成代数形式，再根据复数模的计算公式计算，或者利用复数模的运算性质计算【解答】解：（z+i）i=3+4i，（z+i）i2=（3+4i）i，即zi=3i4，z=4+2i，|z|=2，故答案为：2【点评】此题是个基础题考查复数
16、的代数运算和模的计算，有效考查了学生应用知识分析解决问题的能力和计算能力10（2015潮南区模拟）计算（2x+）dx=e2【考点】定积分【专题】计算题【分析】先求出被积函数2x+的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可【解答】解：（2x+）dx=（x2+lnx） =e2+lne1ln1=e2故答案为：e2【点评】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题11（2015秋商丘期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）f（x）=1对于xR恒成立，且f（x）0，则f（2015）=1【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题【专题】转化思想；转化法；函数的
17、性质及应用【分析】先根据条件求出函数f（x）的周期为4，再根据周期把所求问题转化，即可求出答案【解答】解：偶函数f（x）满足f（x+2）f（x）=1，f（x+2）=，f（x+4）=f（x），所以函数的周期T=4，f（2015）=f（3）；令x=1，f（1）f（1）=1=f2（1），又f（x）0，f（1）=1，f（3）=1；f（2015）=1故答案为：1【点评】本题考查了函数周期性的应用问题，解题时要利用好题中f（x+2）f（x）=1的关系式，是基础题目12（2011太原校级模拟）若=3，tan（）=2，则tan（2）=【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题【分析】把已知的第1个等式左边的分
18、子分母都除以cos，利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tan的方程，即可求出tan的值，然后把所求的式子中的角2变换为（）后，利用两角差的正切函数公式化简，将求出的tan的值和已知的tan（）=2代入即可求出值【解答】解：=3，tan=2又tan（）=2，tan（2）=tan（）=tan（）+=故答案为：【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道综合题本题的突破点是将所求式子的角2变换为（）的形式13（2016秋天津期中）D为ABC的BC边上一点，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中0，0，则=3【考点】平面向量的基本定理及
19、其意义【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，列出方程组求出与的表达式，即可求出+的值【解答】解：如图所示，=+，=+=，=（1）；又E，D，F三点共线，存在实数k，使=k=k（）=kk；又=2，=；（1）=（kk）（），即（1）=（k）+（k），解得=，=；+=3（1k）+3k=3故答案为：3故答案为：3【点评】本题考查了平面向量的加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，是综合性题目14（2016秋天津期中）已知奇函数f（x）定义域为（，0）（0，+），f（x）为其导函数，且满足以下条件x0时，f（x）；f（
20、1）=；f（2x）=2f（x），则不等式2x2的解集为（）【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用【分析】构造函数F（x）=，依题意，可分析得到F（x）=为偶函数，在（0，+）上单调递减，在（，0）上单调递增，由2x2等价于8，由f（1）=及f（2x）=2f（x），求得F（）=8，则F（x）F（），从而可得答案【解答】解：令F（x）=，则F（x）=，x0时，f（x），F（x）0，F（x）在（0，+）上单调递减，又f（x）为奇函数，F（x）=为偶函数，F（x）在（，0）上单调递增，又f（1）=，f（2x）=2f（x），f（）=f（1）=，f（）=f（）=，F（）=
21、8，2x2等价于8，即F（x）F（），故|x|，解得：x或x故答案为：（，）（，+）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生根据题意构造辅助函数的能力，考查分析、推理与逻辑思维能力，属于难题三、解答题（共6小题，共80分）15（13分）（2016秋天津期中）已知函数f（x）=2sinxcos（x+）+（）求函数f（x）的单调递减区间；（）求函数f（x）在区间0，上的最大值及最小值【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间（）利用正弦函数的定义域
22、和值域，求得函数f（x）在区间0，上的最值【解答】解：（）函数f（x）=2sinxcos（x+）+=2sinx（cosxsinx）+=sinxcosxsin2x+=sin2x+=sin（2x+）令2k+x2k+，求得k+xk+，可得函数的减区间为k+，k+，kZ（）在区间0，上，2x+，故当2x+=时，函数f（x）取得最大值为1；当2x+=时，函数f（x）取得最小值为【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题16（13分）（2016秋天津期中）设函数f（x）=lnxax2bx（1）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=0，b=1时，方程
23、f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【专题】导数的综合应用【分析】（1）将a，b的值代入，求出函数f（x）的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；（2）将a，b的值代入函数的表达式，问题转化为只需m=1+有唯一实数解，求出函数y=g（x）=1+的单调性，从而求出m的范围【解答】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+），当a=b=时，f（x）=lnxx2x，f（x）=，令f（x）=0，解得：x=1或x=2（舍去），经检验，x=1是方程的根当0x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，所以f（x）的单调递增区间是
24、（0，1），单调递减区间是（1，+）（2）当a=0，b=1时，f（x）=lnx+x，由f（x）=mx得mx=lnx+x，又因为x0，所以m=1+，要使方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，只需m=1+有唯一实数解，令g（x）=1+（x0），g（x）=（x0），由g（x）0，得：0xe，由g（x）0，得xe，所以g（x）在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数，g（1）=1+=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+=1+，所以m=1+或1m1+【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查转化思想，是一道中档题17（13分）（2016菏泽一模）已知数列bn的前n项
25、和（）求数列bn的通项公式；（）设数列an的通项，求数列an的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（I）利用递推关系即可得出；（II）=（3n2）2n+（1）n2n设数列（3n2）2n的前n项和为An，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（I）数列bn的前n项和，b1=B1=1；当n2时，bn=BnBn1=3n2，当n=1时也成立bn=3n2（II）=（3n2）2n+（1）n2n设数列（3n2）2n的前n项和为An，则An=2+422+723+（3n2）2n，2An=22
26、+423+（3n5）2n+（3n2）2n+1，An=2+3（22+23+2n）（3n2）2n+1=4（3n2）2n+1=（53n）2n+110，An=（3n5）2n+1+10数列（1）n2n的前n项和=1（2）n数列an的前n项和Tn=（3n5）2n+1+101（2）n【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（13分）（2016江西模拟）已知函数f（x）=x22ax+lnx（aR），x（1，+）（1）若函数f（x）有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；（2）对于函数f（x）、f1（x）、f2（x），若对
27、于区间D上的任意一个x，都有f1（x）f（x）f2（x），则称函数f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间D上的一个“分界函数”已知f1（x）=（1a2）lnx，f2（x）=（1a）x2，问是否存在实数a，使得f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+）上的一个“分界函数”？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用【分析】（1）求出函数的导数，根据f（x）有且只有一个极值点，得到x22ax+10恒成立，求出a的范围即可；（2）根据“分界函数”的定义，只需x（1，+）时，f（x）（1
28、a）x20恒成立且f（x）（1a2）lnx0恒成立，判断函数的单调性，求出a的范围即可【解答】解：（1）f（x）=，x（1，+），令g（x）=x22ax+1，由题意得：g（x）在1，+）有且只有1个零点，g（1）0，解得：a1；（2）若f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+）上的一个“分界函数”，则x（1，+）时，f（x）（1a）x20恒成立且f（x）（1a2）lnx0恒成立，令h（x）=f（x）（1a）x2=（a）x22ax+lnx，则h（x）=，2a10即a时，当x（1，+）时，h（x）0，h（x）递减，且h（1）=a，h（1）0，解得：a；2a10即a时，y=（a）x22ax
29、的图象开口向上，存在x01，使得（a）2ax00，从而h（x0）0，h（x）0在（1，+）不恒成立，令m（x）=f（x）（1a2）lnx=x22ax+a2lnx，则m（x）=0，m（x）在（1，+）递增，由f（x）（1a2）lnx0恒成立，得：m（1）0，解得：a，综上，a，时，f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+）上的一个“分界函数”【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查新定义问题，是一道综合题19（14分）（2016秋天津期中）已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，Sn=an2+an，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数
30、列bn满足：b1=1，bnbn1=2an（n2），求数列的前n项和Tn（3）若Tn（n+4）对任意nN*恒成立，求的取值范围【考点】数列与不等式的综合；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）通过Sn=an2+an、Sn+1=an+12+an+1，作差、分析可得an+1an=，进而可得结论；（2）通过an=，可得bnbn1=n，累加即得：bnb1=，从而可得bn=，裂项可得=2（），并项相加即得结论；（3）通过Tn=、Tn（n+4），整理可得，利用基本不等式即得结论【解答】解：（1）Sn=an2+an，Sn+1=an+12+an+1，两式相减得：an+1=+（an+1an），（an+
31、1+an）（an+1an）=0，数列an的各项都是正数，an+1an=，又a1=+a1，a1=，数列an是以为首项、为公差的等差数列，an=+（n1）=；（2）an=，bnbn1=2an=2=n，b2b1=2，b3b2=3，bnbn1=n，累加得：bnb1=，又b1=1，bn=b1+=1+=，=2（），；（3）Tn=，Tn（n+4），=，n+2=4当且仅当n=2时取等号，当n=2时有最大值，【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数列的通项、求和、基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题20（14分）（2014宜春校级模拟）设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx（）若f
32、（x）在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；（）讨论函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f（x0）0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】（）利用求导公式求出导数并化简，由导数的几何意义和题意可得f（）=4，解出a的值即可；（）对导数因式分解后，再求出函数f（x）的定义域，然后在定义域内分a0，a0两种情况，解不等式f（x）0，f（x）0可得函数的单调区间；（）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，利用分析法和根据（II）结论进行证明，根据要
33、证明的结论和分析的过程，利用放缩法、换元法、构造函数法解答，再利用导数求出函数的最值，即可证明结论【解答】解：（I）由题知f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx，则又f（x）的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行，即4a+（a+4）+1=1，解得 a=6（4分）（）由（I）得，由题知f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx的定义域为（0，+），由x0，得0当a0时，对任意x0，f（x）0，此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+）当a0时，令f（x）=0，解得，当时，f（x）0，当时，f（x）0，此时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+）（）不妨设A（x1，0），B（x2，0），且0x1x2，由（）知 a0，于是要证f（x）0成立，只需证：即，得，即，故只需证，即证明，即证明，变形为，设（0t1），令，则=，显然当t0时，g（t）0，当且仅当t=1时，g（t）=0，g（t）在（0，+）上是增函数又g（1）=0，当t（0，1）时，g（t）0总成立，命题得证（14分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，导数的几何意义及不等式的证明问题，体现了分类讨论和转化的思想方法考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，综合性较强，计算量大，难度较大，对能力要求较高