1、3.2平面向量基本定理1.平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1，2，使a1e12e2.（2）基底：我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.2.三点共线的充要条件平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数、，使得.其中1，O为平面内任意一点.1.判断正误.（正确的打“”，错误的打“”）（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.（）（2）若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2（1，2为实数）可以表示该平面内所有向量.（）（3）若ae1be2
2、ce1de2（a，b，c，dR），则ac，bd.（）解析：（1）错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.（2）正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示.（3）错误.当e1与e2共线时，结论不一定成立.答案：（1）（2）（3）2.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（）A.e1，e2B.e1e2，3e13e2C.e1，5e2D.e1，e1e2答案：B3.已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足（3x4y）a（2x3y）b6a3b，则xy.解析：由原式可得解得所以xy3.答案：34.已知向量a与
3、b不共线，且a4b，a9b，3ab，则共线的三点为.解析：a9b3ab2a8b，因为a4b，所以，所以A，B，D三点共线.答案：A，B，D1.定理的实质平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.2.分解的唯一性平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.3.体现的数学思想平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题涉及的向量用基底化归，使问题得以解决.对基底的理解设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组
4、：与；与；与；与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（）A.B.C. D.【解析】与不共线；，则与共线；与不共线；，则与共线.由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故满足题意.【答案】B对基底的理解（1）两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底. （2）一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1ay1bx2ay2b，则1.设a，b不共线，c2ab，d3a2b，试判断c，d能否作为基底.解：假设存在唯一实数，使得cd，则2ab（3
5、a2b），即（23）a（21）b0.因为a，b不共线，所以所以这样的是不存在的，从而c，d不共线.所以c，d能作为基底.用基底表示向量如图所示，在ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若a，b，试用a，b表示向量，.【解】ab.ba.本例条件不变，试用基底a，b表示.解：由平面几何知识知BGBF，故aabaab. 用基底表示向量的两种方法（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止.（2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解. 2.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示
6、和.解：设a，b，则由M，N分别为DC，BC的中点，可得b，a.在ABN与ADM中，可得用向量c，d表示a，b，得故（2dc），（2cd）.平面向量基本定理的应用如图，已知点G是ABC的重心，若PQ过ABC的重心G，且a，b，ma，n b（m0，n0），试问m，n的倒数和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.解：因为a，b，（ab），所以（ab），由于P、G、Q三点共线，则 （为正实数），因为（ab）maab，n b（ab）ab，所以ab，可得ab0，由于a，b 不共线，则必有mn0，消去，整理得3mnmn，所以3为定值.用向量解决平面几何问题的一般步骤（1）选取不共线的两个平面向
7、量作为基底.（2）将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题.（3）利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解.（4）再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 3.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A.B.C. D.解析：选A.由题可得（）.易错警示对平面向量基本定理理解不准确致误如图，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC.AM与BN相交于点P，则APPM（）A.14B.41C.45 D.54解析设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数，使得e13e2，2e1e2.故（2）e1（3）e2，而
8、2e13e2，由平面向量基本定理，得解得所以，所以APPM41.答案B（1）解答本题，常常因为对平面向量基本定理理解不准确，而导致不能正确地表示出，进而得出APPM的错误结果.（2）为避免可能出现上述错误，应注意以下两点：充分挖掘题目中的有利条件，利用等量关系列出方程（组），如本例中由AM与BN相交，得到相应三点共线，即A，P，M与B，P，N分别共线.由共线定理得两个方程，然后求解.用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，通常以与待求向量密切相关的两个不共线向量作为基底.1.已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是（）A.不共
9、线 B.共线C.相等 D.不确定解析：选B.因为ab3e1e2，所以c2（ab）.所以ab与c共线.2.设D为ABC所在平面内一点，3，则（）A.B.C.D.解析：选A.（）.故选A.3.如图，在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2，则.解析：（），故.答案：4.设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12（1，2为实数），则12的值为.解析：由题意（），于是1，2，故12.答案： A基础达标1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）A.2e1e2和2e1e2B.3e12e2和4e26e1C.e12e2和e22e1D.e2和e1
10、e2解析：选B.因为B中4e26e12（3e12e2），所以3e12e2和4e26e1共线不能作为基底.2.四边形OABC中，若a，b，则（）A.abB.bC.b D.ba解析：选D.ababa，故选D.3.已知e1，e2不共线，a1e1e2，b4e12e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是（）A.11 B.12C.13 D.14解析：选B.b4e12e22（2e1e2），因为a，b共线，所以12.4.已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足0，若实数满足，则的值为（）A.3 B.C.2 D.8解析：选A.（）（）2（）23.所以3.5.若D点在三角形ABC的边BC上，且4rs，则3
11、rs的值为（）A. B.C. D.解析：选C.因为4rs，所以（）rs，所以r，s.所以3rs.6.如图，在正方形ABCD中，设a，b，c，则在以a，b为基底时，可表示为，在以a，c为基底时，可表示为.解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得.答案：ab2ac7.设a，b是两个不共线向量，已知2akb，ab，2ab，若A、B、D三点共线，则k.解析：因为ab，2ab，所以（2ab）（ab）a2b.因为A、B、D三点共线，所以，所以2akb（a2b）a2b.又a，b是两个不共线向量，所以所以k4.答案：48.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，y，x
12、，其中x，yR，且均不为0.若，则.解析：因为xy，由，可设，即xy（），所以则.答案：9.如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将，表示出来.解：ab，b（ab）ab，（）（ab）.10.若点M是ABC所在平面内一点，且满足.（1）求ABM与ABC的面积之比；（2）若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设xy，求x，y的值.解：（1）由可知M，B，C三点共线，如图，令（）（1），所以，即面积之比为14.（2）由xyx，y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线B能力提升11.设O，A，B，M为平面上四点，（1），（0，1），则（）A.点M在线段AB上 B.点B在
13、线段AM上C.点A在线段BM上 D.O，A，B，M四点共线解析：选A.因为（1），（0，1），所以（），所以，故点M在线段AB上.12.设点O是面积为4的ABC内部一点，且有20，则AOC的面积为.解析：如图，以OA，OB为邻边作OADB，连接OD，则，结合条件20知，2，设OD交AB于M，则2，所以，故O为CM的中点，所以SAOCSCAMSABC41.答案：113.如图所示，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若a，b，用a，b表示.解：易知，设，则由平行四边形法则，得（）22，由于E，G，F三点共线，则221，故.从而，（ab）.14.（选做题）设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.（1）证明：a，b可以作为一组基底；（2）以a，b为基底表示向量c3e1e2；（3）若4e13e2ab，求，的值.解：（1）证明：假设ab（R），则e12e2（e13e2）.由e1，e2不共线，得所以不存在.故a与b不共线，可以作为一组基底.（2）设cmanb（m，nR），则3e1e2m（e12e2）n（e13e2）（mn）e1（2m3n）e2.所以解得所以c2ab.（3）由4e13e2ab，得4e13e2（e12e2）（e13e2）（）e1（23）e2，所以解得