1、23两角和与差的正切函数,两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan ()T，k(kZ)两角差的正切tan ()T，k(kZ)1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在，R，使tan()tan tan 成立()(2)对任意，R，tan()都成立()解析：(1)正确当0，时，tan()tantan 0tan ，但一般情况下不成立(2)错误两角和的正切公式的适用范围是，k(kZ)答案：(1)(2)2若tan 3，tan ，则tan()()A.B.C D3解析：选A.因为tan 3，tan ，所以tan().3._解析：tan(8222)tan 60.答案：4已知cos ，且
2、，则tan等于_解析：因为cos ，且，所以sin .所以tan ，所以tan7.答案：75已知tan()，则tan _解析：法一：因为tan，所以，即，解得tan .法二：因为tan，所以tan tan.答案：1公式T的结构特征和符号规律(1)结构特征：公式T的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和(2)符号规律：分子同，分母反2两角和与差的正切公式的变形与特例(1)变形公式：tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan()(1tan tan )；tan tan 1.(2)公式的特例：tan；tan.化简求值求值：
3、(1)tan 75；(2)；(3)tan 23tan 37tan 23tan 37.【解】(1)tan 75tan(4530)2.(2)原式tan(6015)tan 451.(3)因为tan 60，所以tan 23tan 37tan 23tan 37，所以tan 23tan 37tan 23tan 37.解决化简求值问题的注意事项(1)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan 451，tan 30，tan 60等 特别要注意tan，tan.(2)公式的变形运用只要见到tan tan ，tan tan 时，就要有灵活变形应用公式T的意识，从而不难获得解题思路1.求下列各
4、式的值；(1)tan ；(2)；(3)tan 78tan 33tan 78tan 33.解：(1)tan tan2.(2)原式tan(7515)tan 60.(3)tan 451，所以tan 78tan 331tan 78tan 33，所以tan 78tan 33tan 78tan 331.给值求值(角)(1)已知tan，tan2.求：tan；tan()(2)设方程x23x40的两根为tan ，tan ，且0|，0|，求的值【解】(1)tantan .tan()tan 23.(2)由已知，得tan tan 3，tan tan 4.所以tan()，且tan 0，tan 0，所以0，0，所以 0，
5、所以. 解决给值求值(角)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小注意在给值求角的问题中，根据角的范围确定角的大小 2.已知tan ，tan 2，且0，求：(1)tan()的值；(2)角的值解：(1)因为tan ，tan 2，所以tan()7.(2)tan()1，因为0，所以，所以.公式T的综合应用在ABC中，tan Btan Ctan Btan C，tan Atan B1tan Atan B，试判断ABC的形状【解】由tan Btan Ctan Btan C，得
6、tan Btan C(1tan Btan C)，因为A，B，C为ABC的内角，所以1tan Btan C0，所以，即tan(BC)，因为0BC，所以BC.由tan Atan B1tan Atan B，得(tan Atan B)(1tan Atan B)，因为A，B，C为ABC的内角，所以1tan Atan B0，所以，即tan(AB).因为0AB，所以AB.又ABC，所以A，BC，所以ABC为等腰三角形公式应用的常见问题类型及处理策略(1)方程中的应用：两角和与差的正切公式中由于同时出现了两正切的和差以及乘积，往往会与一元二次方程联系在一起，利用根与系数的关系解决有关问题(2)判断三角形形状：
7、利用公式及其变形形式，结合题中所给的条件找到角之间的关系 3.已知tan ，tan 是关于x的方程x24px30(pR)的两个实数根，且k(kZ)，求cos2()psin()cos()的值解：因为tan ，tan 是方程x24px30的两实根，所以根据根与系数关系，得tan tan 4p，tan tan 3，所以tan()p，即sin()pcos()原式(1p2)cos2()1.易错警示给值求角中的易错误区已知tan()，tan ，且，(0，)，则2_解析由于tan tan ()，且(0，)，所以又由tan ，且(0，)，得(，)，所以2(，0)而tan(2)tan ()1，所以2.答案 (1
8、)解答本题常会得到2的值为，这样错误的结果，原因在于没能依据题设条件进一步缩小角、的范围，导致计算角2的范围扩大而出错(2)为了防范类似的错误，应该树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式T较方便快捷，且不易产生增解注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan()，tan ，且，(0，)”来进一步限定角，的范围1.等于()Atan 42Btan 3C1 Dtan 24解析：选A.tan(6018)tan 42.2已知tan 和tan是方程ax2bxc0的两个根，则a、b、c的关系是()A
9、cba B2bacCbac Dcab解析：选A.所以tan tan1，所以1，所以bac，所以cab.故选A.3已知tan 2，tan()，则tan 的值为_解析：tan tan()3.答案：34已知tan ，tan ，且，均为锐角，求2的值解：由tan ，tan 知，0，0，则02，又tan 2tan()，所以tan(2)1，所以2., A基础达标1若tan3，则tan 的值为()A2BC. D2解析：选B.tan tan.2设向量a(cos ，1)，b(2，sin )，若ab，则tan等于()A B.C3 D3解析：选B.ab2cos sin 0，得tan 2.tan.3直线l1：x2y1
10、0，倾斜角为，直线l2：x3y10，倾斜角为，则()A. B.C D解析：选B.由题意可知，tan ，tan ，所以0，.所以0，所以tan()1.所以.4在ABC中，C120，tan Atan B，则tan Atan B()A. B.C. D.解析：选B.因为C120，则AB60，又tan(AB)，故，所以tan Atan B.5已知A，B，C是ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x25x10的两个实数根，则ABC的形状是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D无法确定解析：选A.由题意，知tan Atan B，tan Atan B，所以tan(AB)，所以tan Cta
11、n(AB)，所以C为钝角，故选A.6若A18，B27，则(1tan A)(1tan B)的值是_解析：原式tan Atan Btan Atan B1tan (1827)(1tan 18tan 27)tan 18tan 2712.答案：27._解析：原式.答案：8已知tan2，则_解析：因为tan2，所以2，解得tan ，所以.答案：9已知cos()，cos()，求tan tan 的值解：cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ，由整理得则tan tan .10已知AB45，求证：(1tan A)(1tan B)2，并应用此结论求(1tan 1)(1
12、tan 2)(1tan 43)(1tan 44)的值解：因为tan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)且AB45，即tan Atan B1tan Atan B，所以(1tan A)(1tan B)tan Atan B1tan Atan B1tan Atan B1tan Atan B2，即(1tan A)(1tan B)2.因为14445，24345，222345，所以(1tan 1)(1tan 44)2，(1tan 2)(1tan 43)2，(1tan 22)(1tan 23)2，所以原式2222,22个 222.B能力提升11(1tan 21)(1tan 22)(1tan
13、23)(1tan 24)的值为()A16 B8C4 D2解析：选C.由于212445，232245，利用两角和的正切公式及其变形可得(1tan 21)(1tan 24)2，(1tan 22)(1tan 23)2，故(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)4.12已知tan ，cos 且0，2则的值为_解析：因为2且cos ，所以sin ，所以tan 2，所以tan()1，又因为0，所以，所以.答案：13已知tan2，tan ，求的值解：由tan2，解得tan .所以tan().14(选做题)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是和.(1)求tan()的值；(2)求2的值解：(1)由单位圆中三角函数的定义，可得cos ，cos .由于，为锐角，所以sin ，sin .从而tan 7，tan ，所以tan()3.(2)因为tan(2)tan()1，又0，0，所以02，从而2.