1、吉林省实验中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合用列举法表示是A. 1，2，3，4B. 1，2，3，4，5C. 0，1，2，3，4，5D. 0，1，2，3，4【答案】D【解析】分析：解出不等式得，小于5的自然数有5个详解：由题意，又，集合为点睛：用列举法表示集合，关键是求出集合中的元素，本题要注意集合的代表元的性质2.函数的定义域是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性，解不等式即可得结果.【详解】，解得，函数的定义域，
2、故选A.【点睛】本题主要考查函数的定义域、指数函数的单调性，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.3.若点在函数的图象上，则的值为（ ）A. 0B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】由点在函数的图象上，求得，进而求得的值，得到答案.【详解】由点在函数的图象上，可得，解得，则.故选：C.【点睛】本题考查了指数函数的应用，以及三角函数值的求解，着重考查运算与求解能力，属于基础题.4.函数的单调减区间为（
3、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果.【详解】由题意，解得：或，即函数的定义域为：，因为函数由与复合而成，外函数显然单调递减，要求的单调减区间，只需单调递增，又是开口向上，对称轴为的二次函数，所以在上单调递增，即函数的单调减区间为.故选：B.【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二次不等式解法，属于基础题型.5.若“直线与圆相交”，“”；则是( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】直线yx+b
4、与圆x2+y21相交1，解得b即可判断出结论【详解】直线yx+b与圆x2+y21相交1，解得“直线yx+b与圆x2+y21相交”是“0b1”的必要不充分条件故选B【点睛】本题考查了充分必要条件，直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】当都为正数时，；当都为负数时，.然后依次讨论的正负情况，分别求出代数式对应的值，进而得出结论.【详解】当都为正数时，；当都为负数时，.因此，若都为正数，则；若两正一负，则；若一正两负，则；若都为负数，则.所以代数式表示的所有的值
5、的集合是.故选：D.【点睛】本题考查了代数式求值，考查了求元素组成的集合，难度不大.7.设函数，则（）A. 9B. 11C. 13D. 15【答案】B【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】函数，=2+9=11故选B【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题8.函数的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式，得到，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；再由函数的单调性，排除A，即可得到答案.【详解】由题意，函数，可得，即，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；当时，则0，所以函数在上递
6、增，排除A，故选.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先将指对数和特殊值0,1比较大小，再比较的大小关系.【详解】，；，；，.故选：D【点睛】本题考查指对数比较大小，属于基础题型，本题的关键是熟记指对数值的分布.10.给定命题函数为偶函数；命题函数为偶函数，下列说法正确的是（ ）A. 是假命题B. 是真命题C. 假命题D. 是真命题【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性的定义分别判断命
7、题的真假性，由复合命题真假性的判断可得结果.【详解】定义域为，关于原点对称，且，为偶函数，命题为真命题.定义域为，且，为奇函数，命题为假命题.对于，为真命题，错误；对于，为假命题，错误；对于，为假命题，则为假命题，正确；对于，为假命题，则为假命题，错误.故选：.【点睛】本题考查复合命题真假性的判断，解题关键是能够根据奇偶性的定义判断出原命题的真假性.11.定义在R上的奇函数满足：，且当时，若，则实数m的值为（ ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】B【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得，结合函数周期的概念可得是周期为3的周期函数，进而可得，即可得解.【详解】由为奇函数知，即，是周期
8、为3周期函数，故，即，.故选：B.【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了对数运算及运算求解能力，属于中档题.12.已知是奇函数的导函数，当时，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为得，的解集为，故选B.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数
9、，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分13.计算：_.【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算进行化简，即可得到答案.【详解】故答案为：.【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知，则 【答案】12【解析】解：因为，则15.已知全集，若，则集合_，_【答案】
10、 (1). (2). 【解析】【分析】化简集合，根据集合运算律可求，从而可求集合，同理可求集合.【详解】化简全集得故答案为：；【点睛】本题主要考查集合的运算，属于基础题.16.过抛物线C：的焦点F作互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为_【答案】32【解析】【分析】设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出，同理得出，由面积公式结合基本不等式可得出四边形面积的最小值【详解】如下图所示，显然焦点的坐标为，所以，可设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程并整理得，所以，所以，同理可得，由基本不等式可知，四边形的面积为当且仅当时，等号成立，因
11、此，四边形的面积的最小值为32【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知，是方程的两个根，且，求m的值.【答案】【解析】【分析】由根与系数关系，先得到，再由对数运算，即可求出结果.【详解】由题意可得，即；又，所以，因此，满足，故.【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记对数运算法则即可，属于基础题型.18.设全集，集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】
12、（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时确定集合，根据交集的定义求解.（2）由得，画数轴得出的取值范围.【详解】解：（1）当时，.由 所以.（2）由得.所以.【点睛】本题考查并集、交集的求法，指数不等式的解法,是基础题19.已知命题不等式的解集是. 命题函数在定义域内是增函数.若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】若命题为真命题，在一元二次不等式中由判别式求出此时参数范围；若命题为真命题，由指数函数底数大于1则函数单调递增求出此时参数范围，又因为为真命题，为假命题，所以两命题一真一假，最后分类讨论p真q假与p假q真，求出答案.【详解】若命题为真命题，则，解得
13、；若命题为真命题，则，.因为 为真命题，为假命题，所以两命题一真一假（1）p真q假，则，（2）p假q真，则，综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查由逻辑联结词连接命题的真假求参数取值范围，还考查了一元二次不等式恒成立与指数函数的单调性，属于基础题.20.已知F1，F2是椭圆C：（ab0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为.（）求椭圆C的方程；（）过F1的直线l交椭圆于A，B两点，当ABF2面积最大时，求直线l的方程.【答案】（）y2=1；（）xy0或x+y0.【解析】【分析】（）根据直线椭圆的过上顶点，得b=1，再利用点差法以及弦中点坐标解得a2=3，即得
14、椭圆方程；（）先设直线l方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以|F1F2|为底边长求ABF2面积函数关系式，在根据基本不等式求ABF2面积最大值，进而确定直线l的方程.【详解】（）直线x+y=1与y轴的交于（0，1）点，b=1，设直线x+y=1与椭圆C交于点M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，y1+y2，1，1，两式相减可得（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2）=0， 1，解得a2=3，椭圆C方程为y2=1.（）由（）可得F1（，0），F2（，0），设A（x3，y3），B（x4，y4），可设直线l的方程x=my，将直线l的方程x=my代入y2=1，可得（m2+3）
15、y22my1=0，则y3+y4，y3y4，|y3y4|，|F1F2|y3y4|y3y4|，当且仅当，即m=1，ABF2面积最大，即直线l的方程为xy0或x+y0.【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法、基本不等式求最值以及利用韦达定理研究直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题.21.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图象在点处的切线的斜率为1，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？【答案】（1）当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数；解（或
16、0）；得到函数的增区间（或减区间），（2）点处的切线的斜率为1，即，可求值，代入得的解析式，由，且在区间上总不是单调函数可知：g(1)0，g(2)0，g(3)0，于是可求m的范围详解】（1）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（2）由得，.,函数在区间上总存在极值，有两个不等实根且至少有一个在区间内又函数是开口向上的二次函数，且，由得，在上单调递减，所以；，由，解得；综上得：所以当m在内取值时，对于任意，函数，在区间上总存在极值.【点睛】本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，以及已知函数曲线上一点求曲线的切线方程，考查求导公式的掌握情况，含
17、参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题，属于难题（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修5：不等式选讲22.已知函数（1）若，求实数的取值范围；（2）证明：时，【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】（1）即为分类讨论即可得到结果；（2）利用三角绝对值不等式即可得到结果.【详解】（1）即为当时， ，得；当时，无解当时，得所以时，实数的取值范围为 （2）证明： 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数
18、的图象求解，体现了函数与方程的思想选修44：坐标系与参数方程23.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和C的直角坐标方程；（2）直线上的点为曲线内的点，且直线与曲线交于，且，求的值.【答案】（1），（2）m【解析】【分析】（1）把曲线的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程，直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程.（2）化直线的参数方程为标准形式，代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系结合参数的几何意义求解值.【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即，得.曲线的直角坐标方程为.直线的参数方程为（为参数），消去参数，可得直线的普通方程为；（2）设直线的标准参数方程为，代入椭圆方程，得.设对应的参数分别为，则.又点为曲线内的点，即.由，解得.【点睛】本题第一问考查了直线的参数方程和椭圆的极坐标方程，第二问考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.