1、2016-2017学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=x|x2x60，B=x|3x1，则AB=（）A（2，1B（3，2C3，2）D（，1（3，+）2设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为（）A4B11C12D143如图，在ABC中，若AB=5，AC=7，B=60，则BC等于（）ABC8D4阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T的值为（）A57B120C183D2475已知loga2，logb2R，则“2a2b2”是“loga2logb2”的（）
2、A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知双曲线（a0，b0）的两条渐进线与抛物线y2=8x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若ABO的面积为，则双曲线的离心率为（）AB2CD47如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中0，1，则的取值范围是（）A0，3B1，4C2，5D1，78已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）ABCD二、填空题已知z1=a+3i，z2=34i，若为纯虚数，则实数a的值为10的展开式中的常数项为（用数学作答）11几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几
3、何体的体积为cm312直线y=kx+3（k0）与圆x2+y26x4y+9=0相交于A、B两点，若，则k的值是13已知ab0，那么a2+的最小值为14定义在R上的奇函数f（x）是周期为2的周期函数，当x0，1）时，f（x）=2x1，则f（log23）的值为三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（13分）已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的单调递增区间16（13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为和（1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望17（13分）
4、如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EBPA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点（1）求证：AFPC；（2）求证：BD平面PEC；（3）求锐角二面角DPCE的余弦值18（13分）设数列an满足条件a1=1，an+1=an+32n1（1）求数列an的通项公式；（2）若=n，求数列bn的前n项和Sn19（14分）已知椭圆E：（ab0）经过点A（2，3），离心率（1）求椭圆E的方程；（2）若F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E上的一点，当ABC的面积最大时，求C点的坐标20（14分）已知函数（aR且a0）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（2，f
5、（2）处的切线方程；（2）当a0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；（3）当x2a，2a+2时，不等式|f（x）|3a恒成立，求a的取值范围2016-2017学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=x|x2x60，B=x|3x1，则AB=（）A（2，1B（3，2C3，2）D（，1（3，+）【考点】交集及其运算【分析】化简集合A，再由集合的交集运算即可得到所求【解答】解：集合A=x|x2x60=x|2x3=（2，3），B=x|3x1=3，1，则AB=（2
6、，1故选：A【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查二次不等式的解法，属于基础题2设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为（）A4B11C12D14【考点】简单线性规划【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=4x+z，平移直线y=4x+z，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时Z最大，由，解得，即A（2，3），代入z=4x+y得最大值为z=42+3=11故选：B【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规
7、划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键3如图，在ABC中，若AB=5，AC=7，B=60，则BC等于（）ABC8D【考点】余弦定理的应用【分析】由已知利用余弦定理即可解得BC的值【解答】解：在ABC中，ABC=60，且AB=5，AC=7，由余弦定理AC2=AB2+BC22ABBCcosABC，可得：72=52+BC225BC，整理可得：BC25BC24=0，解得：BC=8或3（舍去）故选：C【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题4阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T的值为（）A57B120C183D247【考点】程序框图【分析】模拟程序的
8、运行，依次写出每次循环得到的T，k的值，可得当k=63时满足条件k60，退出循环，输出T的值为120，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得T=0，k=1T=1不满足条件k60，k=3，T=4不满足条件k60，k=7，T=11不满足条件k60，k=15，T=26不满足条件k60，k=31，T=57不满足条件k60，k=63，T=120满足条件k60，退出循环，输出T的值为120故选：B【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题5已知loga2，logb2R，则“2a2b2”是“loga2logb2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条
9、件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分别由2a2b2，得到ab1，由loga2logb2，得到ab，结合集合的包含关系判断即可【解答】解：由2a2b2，得：ab1，得：loga2logb2，是充分条件，由loga2logb2得：，即，故ab，故”2a2b2”是“loga2logb2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及指数函数、对数函数的性质，是一道基础题6已知双曲线（a0，b0）的两条渐进线与抛物线y2=8x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若ABO的面积为，则双曲线的离心率为（）AB2CD4【考点】双曲
10、线的简单性质【分析】由已知条件，分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线，由三角形的面积求出b=a，由此能求出双曲线的离心率【解答】解：y2=8x的准线方程为l：x=2，双曲线（a0，b0）的两条渐进线与抛物线y2=8x的准线分别交于A，B两点，ABO的面积为，=，b=a，c=2a，e=2故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线、双曲线的简单性质7如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中0，1，则的取值范围是（）A0，3B1，4C2，5D1，7【考点】平面向量数量积的运算【分析】画出图形，建立直角坐标
11、系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，），0，1，=+=+=M（2+，），即M（2+，）；=+（）=（，）+（1）（2，0）=（2，），即 N（2，）所以=（2+，）（2，）=22+5=（+1）2+6因为0，1，二次函数的对称轴为：=1，故当0，1时，22+52，5故选：C【点评】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题8已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断【
12、分析】若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点，数形结合可得答案【解答】解：函数的图象如下图所示：若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点，当直线y=x+m经过原点时，m=0，由y=x2+2x的导数y=2x+2=得：x=，当直线y=x+m与y=x2+2x相切时，切点坐标为：（，），当直线y=x+m经过（，）时，m=，故m（0，），故选：D【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档二、填空题（2016秋和平区期末）已知z1=a+3i，z2=34i
13、，若为纯虚数，则实数a的值为4【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把z1=a+3i，z2=34i，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值【解答】解：z1=a+3i，z2=34i，=，又为纯虚数，3a12=0，即a=4故答案为：4【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题10的展开式中的常数项为（用数学作答）【考点】二项式定理的应用【分析】通项公式Tr+1=（1）r，令=0，解得r即可得出【解答】解：通项公式Tr+1=（1）r，令=0，解得r=6，常数项为=故答案为：【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11几何
14、体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=322=cm2，高h=3cm，故棱锥的体积V=cm3，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档12直线y=kx+3（k0）与圆x2+y26x4y+9=0相交于A、B两点，若，则k的值是0或【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系【分析】由弦长公式得，当圆心到
15、直线的距离等于1时，弦长，解此方程求出k的取值即可【解答】解：圆x2+y26x4y+9=0化为：圆（x3）2+（y2）2=4圆心坐标（3，2），半径为2，因为直线y=kx+3与圆（x3）2+（y2）2=4相交于A、B两点，由弦长公式得，圆心到直线的距离等于1，即=1，8k（k+）=0，解得k=0或k=，故答案为：0或【点评】本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用考查计算能力13已知ab0，那么a2+的最小值为4【考点】基本不等式【分析】先利用基本不等式求得b（ab）范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案【解答】解：因为 ab0，所以，当且仅当，即时取等号那么 的最
16、小值是4，故答案为：4【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用解题的时候注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立14定义在R上的奇函数f（x）是周期为2的周期函数，当x0，1）时，f（x）=2x1，则f（log23）的值为【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由奇函数和周期函数的定义，转化f（log23）=f（log2），再由已知条件，结合对数恒等式计算即可得到所求值【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）是周期为2的周期函数，可得f（log23）=f（log23）=f（2log23）=f（log2），由当x0，1）时，f（x）=2x1，可得f（log2）=21=1=，则f（log23
17、）=，故答案为：【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的运用，注意定义和转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（13分）（2016秋和平区期末）已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的单调递增区间【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）在上的单调递增区间【解答】解：（1）函数=cos2x+sin2x+2cos（x）sin（x）=，f（x）的最小正周期（2）令2k2x2
18、k+，求得kxk+，可得函数的增区间为k，k+，kZ再根据x，可得f（x）在上的单调递增区间为，【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题16（13分）（2016秋和平区期末）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为和（1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）由甲3次均击中目标的概率为，利用相互对立事件的概率计算公式即可得出甲至多击中目标目标2次的概率（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3XB利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望即可得出【解
19、答】解：（1）甲3次均击中目标的概率为，甲至多击中目标目标2次的概率为（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3XB，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望，或E（X）=2【点评】本题考查了相互对立事件的概率计算公式、二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（13分）（2016秋和平区期末）如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EBPA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点（1）求证：AFPC；（2）求证：BD平面PEC；（3）求锐角二面角DPCE的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性
20、质【分析】（1）以A为原点，分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系求出相关点的坐标，通过计算，证明AFPC（2）取PC的中点M，连接EM证明BDEM然后证明BD平面PEC（3）求出平面PCD的一个法向量平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解锐二面角DPCE的余弦值【解答】（1）证明：依题意，PA平面ABCD，如图，以A为原点，分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，可得A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4，0，0），P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2），AFPC（2）证明：取PC的中点M，连接EMM（2
21、，2，2），BDEMEM平面PEC，BD平面PEC，BD平面PEC（3）解：AFPD，AFPC，PDPC=P，AF平面PCD，故为平面PCD的一个法向量设平面PCE的法向量为，即令y=1，得x=1，z=2，故，锐二面角DPCE的余弦值为【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行，直线与直线垂直的证明方法，考查空间想象能力以及计算能力18（13分）（2016秋和平区期末）设数列an满足条件a1=1，an+1=an+32n1（1）求数列an的通项公式；（2）若=n，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）利用数列的递推关系式，累加求和，求解通项公式即可（2）求
22、出数列的通项公式，然后求解数列的和即可【解答】解：（1）a1=1，an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=1+320+321+32n2=（n2），当n=1时，32112=1式子也成立，数列an的通项公式（2）解：，即：，Sn=b1+b2+b3+bn=3（120+221+322+n2n1）（2+4+6+2n）设，则，得，=3（n1）2nn（n+1）+3【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力19（14分）（2016秋和平区期末）已知椭圆E：（ab0）经过点A（2，3），离心率（1）求椭圆E的方程；（2）若F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为
23、B，C为椭圆E上的一点，当ABC的面积最大时，求C点的坐标【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程（2）求出焦点坐标，得到直线AF1的方程，直线AF2的方程，设P（x，y）为直线l上任意一点，利用，求出直线l的方程为2xy1=0设过C点且平行于l的直线为2xy+m=0，联立直线与椭圆方程的方程组，求出m然后求解C点的坐标【解答】解：（1）由椭圆E经过点A（2，3），离心率，可得解得椭圆E的方程为（2）由（1）可知F1（2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为，即3x4y+6=0，直线AF2的方程为x=
24、2，由点A在椭圆E上的位置易知直线l的斜率为正数设P（x，y）为直线l上任意一点，则，解得2xy1=0或x+2y8=0（斜率为负数，舍去）直线l的方程为2xy1=0设过C点且平行于l的直线为2xy+m=0，由整理得19x2+16mx+4（m212）=0，由=（16m）24194（m212）=0，解得m2=76，因为m为直线2xy+m=0在y轴上的截距，依题意，m0，故解得x=，y=C点的坐标为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力20（14分）（2016秋和平区期末）已知函数（aR且a0）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（2，f（2）处的切线
25、方程；（2）当a0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；（3）当x2a，2a+2时，不等式|f（x）|3a恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（2），f（2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最小值和最大值，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x24x3，f（2）=4+83=1，即所求切线方程为3x3y+8=0（2）f（x）=x2+4ax3a2=（xa）（x3a）当a0时，由f（x）0，得ax3a；由f（x）0，得xa或x3a函数y=f（x）的单调递增区间为（a，3a），单调递减区间为（，a）和（3a，+），f（3a）=0，当a0时，函数y=f（x）的极大值为0，极小值为（3）f（x）=x2+4ax3a2=（x2a）2+a2，f（x）在区间2a，2a+2上单调递减，当x=2a时，当x=2a+2时，不等式|f（x）|3a恒成立，解得1a3，故a的取值范围是1，3【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题