1、江西省南昌三中20202021学年度第四次月考考试高三数学（文）试卷一、 选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.设复数，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 3.命题： ，都有”的否定为（ ）A.，都有 B.，都有C. ，使得 D.，使得4.函数且是增函数的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线的斜率等于（ ）A. B. C. D. 6.在中，已知，则=（ ） A. B. 或 C. D.或7.已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ）A B C D8.圆M：与双曲线C：（，）的两条渐近线相切于A、B两点，若，则C的离心
2、率为（ ）A. B. C. 2D. 39.已知函数的部分图象如图所示，若，则（ ）A. B. C. D. 10.函数在时有极值0，那么的值为A. 14 B. 40 C. 48 D. 14或4011.在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则面积的最大值为A. B. C. D. 12.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，若，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知是第二象限角，且，则 14.已知函数则的值为 15.设函数的最大值为M，最小值为N，则MN=_16.已知高数的周期为4，且时，若方程恰有5个实数解（其中m0），则m的取
3、值范围为_三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前n项和，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为.18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人中至少有1人睡眠充足的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，点、分别为和的中点. （1）求证：直线平面；（2）求点到平面的
4、距离.20.已知函数，曲线与曲线在处的切线互相垂直，记.（1）求实数k的值；（2）若方程有两个不相等实根，求的取值范围；（3）讨论函数的单调性.21已知椭圆：（）的左、右焦点分别是、，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上顶点斜率为的直线与椭圆的另外一个交点为，若的面积为，求直线的方程选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），若曲线与相交于A、B两点
5、.（1）求曲线、的直角坐标方程;（2）求点到、两点的距离之积.23已知a、b、，且（1）当时，求的最小值；（2）证明：南昌三中20202021学年度第四次考试高三数学（文）答案二、 选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（ B ）A.B.C.D.2.设复数，则的共轭复数为（ A ）A. B. C. D. 3.命题： ，都有”的否定为（ D ）A.，都有 B.，都有C. ，使得 D.，使得4.函数且是增函数的一个充分不必要条件是（ C ）A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线的斜率等于（ B ）A. B. C. D. 6.在中，已知，则=（ B ） A. B. 或 C.
6、 D.或7.已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ D ）A B C D8.圆M：与双曲线C：（，）的两条渐近线相切于A、B两点，若，则C的离心率为（ A ）A. B. C. 2D. 39.已知函数的部分图象如图所示，若，则（ C ）A. B. C. D. 10.函数在时有极值0，那么的值为A. 14 B. 40 C. 48 D. 14或40【详解】函数，若在时有极值0，可得，则，解得：，或，当，时，满足题意函数在时有极值0当，时，不满足题意：函数在时有极值0故选B11.在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则面积的最大值为A. B. C. D. 【详解】由已知，如图所示；可构造的外接圆，其
7、中点D在劣弧AC上运动，当运动到弧中点时，面积最大，此时为等腰三角形，其面积为故选：D12.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，若，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【详解】设，则时，为偶函数，在上是增函数，时单调递减.所以可得，即，实数的取值范围为，故选A.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知是第二象限角，且，则答案： 14.已知函数则的值为 答案： 15.设函数的最大值为M，最小值为N，则MN=_答案： 16.已知高数的周期为4，且时，若方程恰有5个实数解（其中m0），则m的取值范围为_答案： 【详解】有5个解，等价于为与的图象有5个交点，在同一坐标系
8、内画出函数与的图象，如图.求出直线过点和直线与半圆相切时的的值分别为，由图可得时，与的图象有5个交点，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本小题满分12分）已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前n项和，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为.【详解】（1），（2）由（1）得所以，即18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取2人
9、做进一步的身体检查，求抽取的2人中至少有1人睡眠充足的概率.【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（2）将7人中睡眠不足的4人分别记为 , , , ,睡眠充足的3人分别记为 , , ，现从这7人中随机抽取2人的所有情况为：， ，共21种情况.其中至少有1人睡眠充足的情况有：， ，共15种情况.设所求概率为，则.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，点、分别为和的中点. （1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.【详解】（1）取的中点，连结、，由题意，且，且，故且，所以
10、，四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以，平面.（2）设点到平面的距离为.由题意知在中， ，在中，在中，故，所以由得：，解得.20.已知函数，曲线与曲线在处的切线互相垂直，记.（1）求实数k的值；（2）若方程有两个不相等实根，求的取值范围；（3）讨论函数的单调性.【详解】（1），由题意得，即，（2）由，可知在上单调递减，在上单调递增，当时 ，有最小值，又时，；时，若方程有两个不相等实根，则有.（3）由（1）可知，易知，当时，单调递增，当时，单调递减，所以即恒成立，所以在上单调递减.21已知椭圆：（）的左、右焦点分别是、，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆
11、交点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上顶点斜率为的直线与椭圆的另外一个交点为，若的面积为，求直线的方程【详解】（1）设椭圆方程为（），由两圆交点在椭圆上，得，由离心率为，得，所以椭圆的方程为（2）因为点的坐标为，所以直线的方程为，代入椭圆方程得到：，因为，所以，又因为直线与轴的交点坐标为，点的坐标为，所以，解得或，所以，直线的方程为或选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），若曲线与相交于A、B两点.（1）求曲线、的直角坐标方程;（2）求点到、两点的距离之积.【详解】由曲线的极坐标方程可得曲线的直角坐标方程为, 由曲线的参数方程可得曲线的普通方程为, （2）将曲线的参数方程 (t为参数),代入曲线的普通方程得：, 设、两点对应的参数分别为、，, ， 可得.23已知a、b、，且（1）当时，求的最小值；（2）证明：【详解】（1），且，所以，则，当且仅当时取到等号，所以，当且仅当，即时取到等号，当时取到最小值为9；（2），由柯西公式：当且仅当时取到等号，得，又因为，所以，即当且仅当即时取到等号高三数学（文） 第9页，共2页