1、9.6双曲线1.双曲线的概念(1)第一定义：平面内动点P与两个定点F1、F2(F1F22c0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a0，c0：当ac时，P点不存在.(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离的比是常数e(e1)的动点C的轨迹叫做双曲线.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx准线xy离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A22a；线段
2、B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).()2.(2013江苏)双曲线1的两条渐
3、近线的方程为_.答案yx解析双曲线1的渐近线方程为0，即yx.3.若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_.答案解析焦点(c,0)到渐近线yx的距离为2a，解得b2a，又a2b2c2，5a2c2，离心率e.4.(2013福建改编)双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于_.答案解析双曲线的顶点(2,0)到渐近线yx的距离d.5.(2012辽宁)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则PF1PF2的值为_.答案2解析设P在双曲线的右支上，PF2x(x0)，PF12x，因为PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)
4、28，所以x1，x21，所以PF2PF12.题型一双曲线的定义及标准方程例1(1)已知双曲线1 (a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_.(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_.(3)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.思维启迪设双曲线方程为1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c；根据双曲线的定义求轨迹方程.(注意条件)答案(1)1(2)
5、1(3)x21(x1)解析(1)椭圆1的焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，离心率为e.由于双曲线1与椭圆1有相同的焦点，因此a2b27.又双曲线的离心率e，所以，所以a2，b2c2a23，故双曲线的方程为1.(2)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.(3)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得MC1AC1MA，MC2BC2MB，因为MAMB，所以MC1AC1MC2BC2，即MC2MC1BC2AC12，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2.又根据双曲线的定义，得动点M
6、的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28. 故点M的轨迹方程为x21(x1).思维升华求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法.待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的值即可.利用定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支.(1)(2012湖南改编)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程
7、为_.(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_.答案(1)1(2)1解析(1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.1的焦距为10，c5.又双曲线渐近线方程为yx，且P(2,1)在渐近线上，1，即a2b.由解得a2，b，则C的方程为1.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1PF2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线C2的标准方程为1.题型二双曲线的几何性质例2(1)(2013浙江改编)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线
8、C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_.(2)若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦 点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_.思维启迪(1)求圆锥曲线的离心率e，可以求出a，c的关系式，进而求出e.(2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线本身的x，y的取值范围.答案(1)(2)32，)解析(1)F1F22.设双曲线的方程为1.AF2AF14，AF2AF12a，AF22a，AF12a.在RtF1AF2中，F1AF290，AFAFF1F，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.(
9、2)由条件知a21224，a23，双曲线方程为y21，设P点坐标为(x，y)，则(x，y)，(x2，y)，y21，x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(P为右支上任意一点)，32.思维升华在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形求e，并且需注意e1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题.(1)(2013课标全国改编)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为_.(2)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F
10、作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若2，则此双曲线的离心率为_.答案(1)yx(2)2解析(1)由e知，a2k，ck(kR)，由b2c2a2k2知bk.所以.即渐近线方程为yx.(2)如图，2，A为线段BF的中点，23.又12，260，tan 60，e21()24，e2.题型三直线与双曲线的位置关系例3已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值.思维启迪本题主要考查直线与双曲线的位置关系，解题关键是联立方程用根与系数的关系求解.解(1)双曲线C与
11、直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20.解得k|x2|时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.SOAB|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即()28，解得k0或k.又k0，b0).由已知得：a，c2，再由a2b2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将ykx代入y21，得，(13k2)x26kx90.由题意知解得k1.当k1时，l与双曲线左支有两个交点.(3)由(2)得：xAxB，yAyB(
12、kxA)(kxB)k(xAxB)2.AB的中点P的坐标为(，).设直线l0的方程为yxm，将P点坐标代入直线l0的方程，得m.k1，213k20.m2.m的取值范围为(，2).忽视“判别式”致误典例：(14分)已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.规范解答解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直
13、线l的斜率不存在，显然不符合题意.2分设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.4分由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20).7分x0.由题意，得1，解得k2.9分当k2时，方程成为2x24x30.162480，b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为t (t0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程0就是双曲线1 (a0，b0)的两条渐近线方程.失误与防范1.区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.2.双曲线的离心率
14、e(1，)，而椭圆的离心率e(0,1).3.双曲线1 (a0，b0)的渐近线方程是yx，1 (a0，b0)的渐近线方程是yx.4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.(2013北京改编)若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为_.答案yx解析由e，知ca，得ba.渐近线方程为yx，yx.2.已知双曲线的渐近线方程为x2y0，且双曲线过点M(4，)，则双曲线的方
15、程为_.答案y21解析双曲线过点M(4，)，M在y下方，双曲线焦点在x轴上，设双曲线方程为1，又，因此设a2k，bk(k0)，1，代入M(4，)解得k1，a2，b1，方程为y21.3.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为_.答案解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故AB，依题意4a，2，e212，e.4.以椭圆1的右焦点为圆心，且与双曲线1的渐近线相切的圆的方程是_.答案x2y210x90解析由于右焦点(5,0
16、)到渐近线4x3y0的距离d4，所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆.即圆的方程为x2y210x90.5.已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_.答案(1,2)解析由题意易知点F的坐标为(c,0)，A(c，)，B(c，)，E(a,0)，因为ABE是锐角三角形，所以0，即(ca，)(ca，)0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2).6.(2013湖北改编)已知00，0n0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1
17、PF26a且PF1F2的最小内角为30，则双曲线C的离心率为_.答案解析不妨设PF1PF2，则PF1PF22a，又PF1PF26a，PF14a，PF22a.又在PF1F2中，PF1F230，由正弦定理得，PF2F190，F1F22a，双曲线C的离心率e.二、解答题9.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，).(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求F1MF2的面积.(1)解离心率e，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，可得42()26，双曲线方程为x
18、2y26.(2)证明点M(3，m)在双曲线上，32m26，m23，又双曲线x2y26的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，MF1MF2，点M在以F1F2为直径的圆上.(3)解4|m|6.10.直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.解(1)将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21后，整理得(k22)x22kx20.依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得
19、k的取值范围是2k0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而kBF，()1，整理得b2ac.c2a2ac0，两边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去).2.(2013重庆改编)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使A1B1A2B2，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是_.答案解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于60，即tan 30tan 60，3
20、.又e2()21，e24，0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是_.答案1解析因为MF1的中点P在双曲线上，PF2PF12a，MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以cc2a，所以e1.4.(2013辽宁)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_.答案44解析由双曲线C的方程，知a3，b4，c5，点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且PQQAPA4b16，由双曲线定义，得PFPA6，QFQA6.PFQF12PAQA28，因此PQF的周长为PFQF
21、PQ281644.5.已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为_.答案解析由定义，知PF1PF22a.又PF14PF2，PF1a，PF2a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2.要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当cosF1PF21时，得e，即e的最大值为.6.设点F1，F2是双曲线x21的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3PF14PF2，则PF1F2的面积为_.答案3解析据题意，PF1PF2，且PF1PF22，解得PF18，PF26.又F1F24，在PF1F2中，由余弦定理得，c
22、osF1PF2.所以sinF1PF2，所以683.7.已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若，求四边形ANBM的面积.解(1)设椭圆方程为1(ab0)，则根据题意知双曲线的方程为1且满足解方程组得椭圆的方程为1，双曲线的方程为1.(2)由(1)得A(5,0)，B(5,0)，AB10，设M(x0，y0)，则由得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x05,2y0).将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得消去y0，得2x5x0250.解之，得x0或x05(舍去).y0.由此可得M(，)，P(10,3).当P为(10,3)时，直线PA的方程是y(x5)，即y(x5)，代入1，得2x215x250.所以x或5(舍去)，xN，xNxM，MNx轴.S四边形ANBM2SAMB21015.