1、9.3圆的方程1.圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.3.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，其中(a，b)为圆心，r为半径.4.圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0，其中圆心为，半径r.5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.6.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，
2、y0)(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20.()2.若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_.答案1a1解析因为点(1,1)在圆的内部，(1a)2(1a)24，1a0，3a24a40，2a0，圆心坐标为，半径r.14分方法二如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，2.3分O1M的方程为y32，即y2x4.6分由方程组.解得M的坐标为(1,2).8分则以PQ为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上.(01)2(02)2r2，即r25，
3、MQ2r2.在RtO1MQ中，O1Q2O1M2MQ2.2(32)25.m3.10分半径为，圆心坐标为.14分方法三设过P、Q的圆系方程为x2y2x6ym(x2y3)0.3分由OPOQ知，点O(0,0)在圆上.m30，即m3.6分圆系方程可化为x2y2x6y3x2y30.即x2(1)xy22(3)y0.8分圆心M，又圆心在PQ上.2(3)30，1，m3.10分圆心坐标为，半径为.14分温馨提醒(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算.(2)本题中三种解法都是利用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值.(3)本题的易错点：不能正确构
4、建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算 误.方法与技巧1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.失误与防范1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况.A组专项基础训练 (时间：40分钟)一、填空题1.设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与圆的位置关系是_.答案原
5、点在圆外解析将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0a0，即，所以原点在圆外.2.若圆x2y22ax3by0的圆心位于第三象限，那么直线xayb0一定不经过第_象限.答案四解析圆x2y22ax3by0的圆心为，则a0.直线yx，k0，0，直线不经过第四象限.3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为_.答案x2(y2)21解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.4.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_.答案(x2)2(y1)21解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y
6、)，则，代入xy4中得(x2)2(y1)21.5.若直线ax2by20(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为_.答案32解析由题意知圆心C(2,1)在直线ax2by20上，2a2b20，整理得ab1，()(ab)332 32，当且仅当，即b2，a1时，等号成立.的最小值为32.6.如果直线l将圆C：(x2)2(y3)213平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为_.答案解析由题意，知直线l过圆心C(2，3)，当直线OCl时，坐标原点到直线l的距离最大，OC.7.若方程x2y22x2my2m26m90表示圆，则m的取值范围是_；当半径最大时，圆的方程为_.答案2m0，2
7、m0，即a5.又圆关于直线y2xb成轴对称，22b，b4.aba40成立，则m的取值范围是_.答案(1，)解析由题意得m(xy)恒成立，设z(xy)，求得zmax1.m1.5.已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2y24在区域D内的弧长为_.答案解析作出可行域D及圆x2y24，如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求.易知图中两直线的斜率分别为、，得tan ，tan ，tan tan()1，得，得弧长lR2(R为圆的半径).6.(2013课标全国)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的
8、距离为，求圆P的方程.解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.则y22r2，x23r2.y22x23，即y2x21.P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P的坐标为(x0，y0)，则，即|x0y0|1.y0x01，即y0x01.当y0x01时，由yx1得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.当y0x01时，由yx1得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.综上所述，圆P的方程为x2(y1)23.7.在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，3)为OAB的直角顶点，已知AB2OA，且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标；(2)求圆x26xy22y0关于直线OB对称的圆的方程.解(1)设(x，y)，由AB2OA，0，得解得或若(6，8)，则yB11与yB0矛盾.所以舍去.即(6,8).(2)圆x26xy22y0，即(x3)2(y1)2()2，其圆心为C(3，1)，半径r，(4，3)(6,8)(10,5)，直线OB的方程为yx.设圆心C(3，1)关于直线yx的对称点的坐标为(a，b)，则解得所求的圆的方程为(x1)2(y3)210.