1、1.如图，已知AB是O的直径，CD是O的切线，C为切点，ADCD交O于点E，连接AC、BC、OC、CE，延长AB交CD于F.(1)证明：BCCE；(2)证明：BCFEAC.证明：(1)因为CD为O的切线，C为切点，AB为O的直径，所以OCCD，又ADCD，所以OCAD，所以OCACAE，又OCOA，所以OACOCA，所以OACCAE，所以BCCE.(2)由弦切角定理可知，FCBOAC，所以FCBCAE，因为四边形ABCE为圆O的内接四边形，所以ABCCEA180，又ABCFBC180，所以FBCCEA，所以BCFEAC.2(2015沈阳市质量监测，T22)如图所示，已知AB为圆O的直径，C、D
2、是圆O上的两个点，CEAB于E，BD交AC于G，交CE于F，CFFG.(1)求证：C是劣弧的中点；(2)求证：BFFG.证明：(1)因为CFFG，所以CGFFCG.因为AB是圆O的直径，所以ACBADB.因为CEAB，所以CEA.因为CBACAB，ACECAB，所以CBAACE.因为CGFDGA，所以DGAABC，所以DGAABC.所以CABDAC，所以C为劣弧的中点(2)因为GBCCGB，FCBGCF，所以GBCFCB，所以CFFB，所以BFFG.3如图所示，AC为半圆O的直径，D为的中点，E为BC的中点(1)求证：DEAB；(2)求证：ACBC2ADCD.证明：(1)连接BD，因为D为的中
3、点，所以BDDC.因为E为BC的中点，所以DEBC.因为AC为半圆O的直径，所以ABC90，所以ABDE.(2)因为D为的中点，所以BADDAC，又BADDCB，则DCBDAC.又因为ADDC，DECE，所以DACECD.所以，即ADCDACCE，又BC2CE，所以2ADCDACBC.4(2015辽宁省五校联考)已知在ABC中，ABAC，D为ABC外接圆劣弧上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F.(1)求证：CDFEDF；(2)求证：ABACDFADFCFB.证明：(1)因为A、B、C、D四点共圆，所以CDFABC.因为ABAC，所以ABCACB，且ADBACB，
4、EDFADBACBABC，所以CDFEDF.(2)由(1)得ADBABF，又因为BADFAB，所以BAD与FAB相似，所以，所以AB2ADAF，又因为ABAC，所以ABACADAF，所以ABACDFADAFDF，根据割线定理得DFAFFCFB，所以ABACDFADFCFB.5(2015大连市双基测试)如图，已知O1与O2相交于A，B两点，P是O1上一点，PB的延长线交O2于点C，PA交O2于点D，CD的延长线交O1于点N.(1)点E是 上异于A，N的任意一点，PE交CN于点M，求证：A，D，M，E四点共圆；(2)求证：PN2PBPC.证明：(1)连接AB，因为A，B，P，E四点共圆，所以ABC
5、E.又因为ABCADC，所以ADCE，所以A，D，M，E四点共圆(2)法一：连接BN，因为PNBPABC，BPNNPC，所以PNBPCN，所以PN2PBPC.法二：连接AN.由(1)知PDNE，所以PDNEPNA，又因为APNNPD，所以PDNPNA，所以，所以PN2PDPA，又PBPCPDPA，所以PN2PBPC.6如图，O1与O2相交于A，B两点，点P在线段BA的延长线上，T是O2上一点，PTO2T，过P的直线交O1于C，D两点(1)求证：；(2)若O1与O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O25，PT，求PA的长解：(1)证明：因为PTO2T，所以PT是O2的切线所以PT2PAPB.因为
6、PD，PB是O1的割线，所以PCPDPAPB，所以PT2PCPD，所以.(2)连接O1A，O2A，因为O1O25，O1A4，O2A3，所以O1OO1A2O2A2，所以O1AO290.设RtO1AO2斜边上的高为h，则h，AB2h.因为PT2PAPB，PT，所以PA.解得PA或PA(舍去)，所以PA的长为.7如图，O1与O2交于C，D两点，AB为O1的直径，连接AC并延长交O2于点E，连接AD并延长交O2于点F，连接FE并延长交AB的延长线于点G.(1)求证：GFAG；(2)过点G作O1的切线，切点为H，若G，C，D三点共线，GE1，EF6，求GH的长解：(1)证明：连接BC，GD.因为AB是O
7、1的直径，所以ACB90，所以ABCCAB90.由A，B，C，D四点共圆，得ABCFDC，由C，D，F，E四点共圆，得GECFDC，所以GECABC，所以GECCAB90，所以EGA90，即GFAG.(2)因为GH为O1的切线，GCD为O1的割线，所以GH2GCGD.又GCD，GEF为O2的两条割线，所以GCGDGEGF，所以GH2GEGF7，所以GH.8(2015贵州省七校第一次联考，T22)如图，O1和O2的公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1交O1于E、G两点，直线DO2交O2于F、H两点(1)求证：DEFDHG；(2)若O1和O2的半径之比为916，求的值解：(1)证明：因为AD是两圆的公切线，所以AD2DEDG，AD2DFDH，所以DEDGDFDH，所以，又因为EDFHDG，所以DEFDHG.(2)连接O1A、O2A，因为AD是两圆的公切线，所以O1AAD，O2AAD，所以O1、A、O2共线，因为AD和BC是O1和O2的公切线，DG平分ADB，DH平分ADC，所以DGDH，所以AD2O1AO2A.设O1和O2的半径分别为9x和16x，则AD12x，因为AD2DEDG，AD2DFDH，所以144x2DE(DE18x)，144x2DF(DF32x)，所以DE6x，DF4x，所以.