1、平面向量的概念及运算班级_姓名_考号_日期_得分_一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1已知ABC，若对任意mR，|m|恒成立，则ABC必定为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形 D不确定解析：设m，则由题意得|，由m的任意性可知，点D可视为是直线AB上的任意一点，即对于直线AB上的任意一点D与点C的距离都不小于A、C两点间的距离，因此ACAB，选C.答案：C2平面上有三点A、B、C，设m，n，若向量m，n的长度恰好相等，则有()AA、B、C三点必在同一直线上BABC必为等腰三角形且B为顶点CABC必为直角三角形且B为直角DABC必为等腰直
2、角三角形解析：以向量，为邻边构造平行四边形ABCD，如图，则，所以m，n，向量m，n的长度相等，即平行四边形ABCD对角线长度相等，所以ABCD为矩形，故ABC必为直角三角形且B为直角答案：C3如图，平面内的两条相交直线l1和l2将该平面分割成四个部分、(不包括边界)，向量1、2分别为l1和l2的方向向量，若a1b2，且点P落在第部分，则实数a、b满足()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0答案：C4若O为ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形解析：2，.|，即以AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相
3、等，则这个平行四边形为矩形，ABAC，则ABC为直角三角形答案：B5(2011聊城)已知ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs的值是()A. B. C3 D0解析：2，则而，故rs，r，s，rs0.答案：D6(2011兰州模拟)已知ABC的三个顶点A、B、C及其所在平面内一点P满足，则P与ABC的关系是()AP在ABC内BP在ABC外CP在直线AB上DP在ABC的AC边的一个三等分点上解析：先对题目给出的向量表达式进行化简，整理，变形，得到P点满足的更为直观的关系式，然后再进行判断，2，点P在ABC的AC边的一个三等分点上，故选D.答案：D点评：通过向量的运算研究点与三角形的位置关系是一
4、种重要的题型解答这类问题的关键是合理地运用向量的加法、减法、数乘向量等运算法则，结合具体图形，找到点满足的向量表达式，然后将向量表达式转化为几何图形中的位置关系，得到问题的答案二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若，其中，R，则_.解析：如图，四边形ABCD为，且E、F分别为CD、BC中点()()()()()，()，.答案：8(2011湖北五市联考)在OAB中，M为OB的中点，N为AB的中点，ON，AM交于点P，若mn(m，nR)，则nm_.解析：()，所以m，n，故nm1.答案：19已知向量a
5、，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是2a3b4e，且a2b3e存在相异实数、，使ab0xayb0(实数x，y满足xy0)已知梯形ABCD中，a，b将正确的序号填在横线上_解析：由得：10ab0，故对正确，对于当xy0时a与b不共线，故不对若ABCD，则与共线，若ADBC，则与不共线，故不对答案：10如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若xy，则x_，y_.解析：解法一：以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB2，则(2,0)，(0,2)，过D作DFAB交AB的延长线于F，由已知得DFBF，则(2，)xy，(2，)(2x,2y)即有解得解法二：
6、过D作DFAB交AB的延长线于F.由已知可求得BFDFAB，所以x1，y.答案：1三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11已知非零向量e1和e2不共线(1)若e1e2，2e18e2，3e13e2，问A、B、D三点是否共线？并说明理由；(2)若向量ake1e2和向量be1ke2，是否存在实数k，使向量a、b为共线向量？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解析：(1)由条件知，e1e2，(2e18e2)(3e13e2)5e15e2.可见，5，、共线由于、有一个公共点B，所以A、B、D三点共线(2)设ab(R)，则ke1e2(e1ke2)，即k
7、e1e2e1ke2.因为k、R，且e1、e2是不共线的两个向量所以解得k1或k1.因此，存在实数k1，使向量a、b为共线向量12设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)设ma，nb，a b，其中m、n、均为实数，m0，n0，若M、P、N三点共线，求证：1.解析：(1)证明：(3ab)(2ab)a2b.而(a3b)(3ab)2a4b2，与共线，且有公共端点B，A、B、C三点共线(2)8akb与ka2b共线，存在实数使得(8akb)(ka2b)(8k)a(k2)b0，a与b不共线，8222，k24
8、.(3)证明：M、P、N三点共线，存在实数，使得，ab.a、b不共线，1.13.(理)如图，ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若x，y，求的值解析：设a，b，则xa，yb，()(ab)(ab)xaab，ybxaxayb.与共线，存在实数，使.ab(xayb)xayb.a与b不共线，消去，得4.(文)如图，ABC中，在AC上取一点N，使得ANAC，在AB上取一点M，使得AMAB，在BN的延长线上取点P，使得NPBN，在CM的延长线上取点Q，使得时，试确定的值解析：()()，又，即，.平面向量的坐标运算班级_姓名_考号_日期_得分_一、选择
9、题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1直角坐标系xOy中，i、j分别是与x、y轴正方向同向的单位向量在直角三角形ABC中，若A2ij，A3ikj，则k的可能值的个数是()A1B.2C3D.4答案：B2已知两点A(2,3)，B(4,5)，则与A共线的单位向量是()Ae(6,2)Be(6,2)或(6，2)CeDe或解析：A(4,5)(2,3)(6,2)，|A|2，e(6,2).答案：D3设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A(1，1)B.(1,1)C(4,6)D.(4，6)解析：由题意
10、得：4a3b2ac0，c2a3b2(1，3)3(2,4)(4，6)答案：D4若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为()A(2,0)B.(0，2)C(2,0)D.(0,2)解析：由已知2p2q(2,2)(4,2)(2,4)，设mn(1,1)(1,2)(，2)，则由0m2n，(0,2)答案：D5平面直角坐标系中，O为坐标原点已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足，其中、R，且1，则点C的轨迹方程为()A3x2y110B.(x1)2(y2)2
11、5C2xy0D.x2y50解析：解法一：设C(x，y)，(x，y)，由，(x，y)(3,1)(1,3)(3，3)又1，1，代入得2，整理得x2y50，即为点C的轨迹方程解法二：注意到，1是A、B、C三点共线的充要条件，则C的轨迹是过A、B的直线，则可直接写出，即x2y50，选D.答案：D6在平面直角坐标系中，已知点A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；2.其中正确结论的个数是()A1个B.2个C3个D.4个解析：(2,1)，(2,1)(0,2)(2，1)，则，故直线OC与直线BA平行，正确(2,1)，(2,1)(0,2)(2，1)，故(2
12、,1)(2，1)(4,0)(或(2,1)(2,1)(4,0)，而(2,1)(2,1)(4,0)，故)，错误(2,1)(2,1)(0,2)，而(0,2)，故正确2(0,2)2(2,1)(4,0)，而(4,0)，故正确综上可知正确答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7已知|a|10，b(3，4)，且ab，则向量a_.解析：ab，b(3，4)，设ab(3，4)，|a|10，1024，2，a(6，8)或(6,8)答案：(6，8)或(6,8)8下列各组向量中e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2，有一组能
13、作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是_解析：中e22e1，中e14e2，故、中e1，e2共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底答案：9ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，m()，则实数m_.解析：特殊法设ABC为Rt，则O为斜边BC中点，H与A重合，m，m1.答案：110(2011北京西城)已知点A(0,0)，B(，0)，C(0,1)设ADBC于D，那么有，其中_.解析：如图|AB|，|AC|1，|CB|2，由于ADBC，且，所以C、D、B共线，所以，即.答案：三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11已知a
14、(1,2)，b(3,2)，且|(kab)(a3b)|kab|a3b|，求实数k的值解析：解法一：由题意，a、b不共线由条件|(kab)(a3b)|kab|a3b|，可得kab与a3b方向相反，当(kab)(a3b)时，k.此时，kabab(a3b)kab与a3b方向相反，k.解法二：由题意：kab(k3,2k2)，a3b(8，4)|kab|则|a3b|4，|(kab)(a3b)|(k11,2k6)|.代入等式得4，化简得9k26k10，k，代入检验等式成立12如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标解析：解法一：设tt(4,4)(4t,4t)，则(4t
15、,4t)(4,0)(4t4,4t)，(2,6)(4,0)(2,6)由，共线的充要条件知(4t4)64t(2)0，解得t.(4t,4t)(3,3)P点坐标为(3,3)解法二：设P(x，y)，则(x，y)，(4,4)，共线，4x4y0.又(x2，y6)，(2，6)，且向量、共线6(x2)2(6y)0.解组成的方程组，得x3，y3，点P的坐标为(3,3)13已知向量u(x，y)与向量v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示(1)设a(1,1)，b(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；(2)求使f(c)(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标；(3)证明：对任意的向量a、b及常数m、n，恒有f
16、(manb)mf(a)nf(b)成立分析：本题关键是找出“函数”vf(u)的对应关系，此处的变量为向量的坐标，因此，可通过坐标运算来解决问题解析：(1)a(1,1)，b(1,0)，f(a)(1,211)(1,1)f(b)(0,201)(0，1)(2)设c(x，y)，则f(c)(y,2yx)(p，q)，c(2pq，p)(3)证明：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则manb(ma1nb1，ma2nb2)，f(manb)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)mf(a)m(a2,2a2a1)，nf(b)n(b2,2b2b1)，mf(a)nf(b)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)，f(manb)mf(a)nf(b)成立点评：对于信息处理题应注意以下几点：认真领会题中所给信息(注意概念的内涵与外延)；将所得到的信息，应用于题目中去，即解决实际问题(当然注意条件与结论，往往是三段论推理)