1、5.4平面向量的应用1.向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos (为a与b的夹角).2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积.即WFs|F|s
2、|cos (为F与s的夹角).3.平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线.()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.()(3)实现平面
3、向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.()(4)在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形.()(5)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为，且|F1|3，|F2|5，则F1F2的大小为.()(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0,10)，C(8,0)，若动点P满足：t()，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()2.(2013福建改编)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为_.答案5解析0，ACBD.四边形ABCD的面积S|25.3.已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cos A，sin
4、A).若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为_和_.答案解析由mn得mn0，即cos Asin A0，即2cos0，A，A，即A.又acos Bbcos A2Rsin Acos B2Rsin Bcos A2Rsin(AB)2Rsin Cccsin C，所以sin C1，C，所以B.4.平面上有三个点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_.答案y28x (x0)解析由题意得，又，0，即0，化简得y28x (x0).5.河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_.答案2 m/s解析如图所
5、示小船在静水中的速度为2 m/s.题型一平面向量在平面几何中的应用例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.思维启迪正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP(0)，则A(0,1)，P(，)，E(1，)，F(，0)，(，1)，(1，)，| ，| ，|，即PAEF.思维升华用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何
6、问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值.解(1)(3,5)，(1,1)，求两条对角线的长即求|与|的大小.由(2,6)，得|2，由(4,4)，得|4.(2)(2，1)，(t)t2，易求11，25，由(t)0得t.题型二平面向量在三角函数中的应用例2已知在锐角ABC中，两向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1s
7、in A)，且p与q是共线向量.(1)求A的大小；(2)求函数y2sin2Bcos取最大值时，B的大小.思维启迪向量与三角函数的结合往往是简单的组合.如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式.因此这种题目较为简单.解(1)pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，sin2A，sin A，ABC为锐角三角形，A60.(2)y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B60)1cos 2Bcos(2B60)1cos 2Bcos 2Bcos 60sin 2Bsin 601cos 2Bsin 2B1sin(2B30)，当2
8、B3090，即B60时，函数取最大值2.思维升华解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为_.答案解析mn，(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)0，又，则化简得a2c2b2ac，cos B，0B0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)(x，(yb)，把a代入，得(x)3y0，整理得yx2(x0).题型四平面向量
9、在物理中的应用例4在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_.思维启迪题中涉及的三个速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船实际过江的速度，三个速度的关系是本题的核心.答案北偏西30解析如图所示，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为，依题意知|，|25.，2，0，25cos(BOD90)()20，cos(BOD90)，sinBOD，BOD30，航向为北偏西30.思维升华在使用向量解决物理问题时要注意：(1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；(3)利用
10、向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题.质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_.答案2解析方法一由已知条件F1F2F30，则F3F1F2，FFF2|F1|F2|cos 6028.因此，|F3|2.方法二如图，|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 6012，则|2|2|2，即OF1F2为直角，|F3|2 2.高考中以向量为背景的创新题典例：(1)(5分)对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的
11、平面向量a，b满足a与b的夹角(，)，且ab和ba都在集合|nZ中，则ab等于_.思维启迪先根据定义表示出ab和ba，利用其属于集合|nZ，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos ，然后利用(，)确定cos 的取值范围，结合集合中nZ的限制条件即可确定n的值，从而求出ab的值.解析根据新定义，得abcos ，bacos .又因为ab和ba都在集合|nZ中，设ab，ba(n1，n2Z)，那么(ab)(ba)cos2，又(，)，所以0n1n20不等价.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.已知在ABC中，a，b，ab0，SABC，|a|3，|b|5，则BAC_.答案150解
12、析0，0，|0.由于，cos().故tan().B组专项能力提升(时间：35分钟)1.如图，ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3，BC，则 _.答案解析()，因为OAOB，所以在上的投影为|，所以|2，同理|，故2.2.已知向量m，n的夹角为，且|m|，|n|2，在ABC中，mn，m3n，D为BC边的中点，则|_.答案1解析由题意知：|2m2n|mn|1.3.如图，已知平面上直线l的方向向量e，点O(0,0)和A(1，2)在l上的投影分别是O1和A1，则e，其中_.答案2解析|e|，|，|cose，2.4.已知直线xya与圆x2y24交于A、B两点，且|，其中O为坐标原点，则实数a的值为_
13、.答案2解析如图所示，以OA、OB为边作平行四边形OACB，则由|得，平行四边形OACB是矩形，.由图象得，直线yxa在y轴上的截距为2.5.已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1， P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_.答案5解析方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为5.方法二设x(0x1).(1x)，x，(1x).3(34x)，|3|222(
14、34x)(34x)2225(34x)2225，|3|的最小值为5.6.已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cos ，sin )，且0.(1)若|，求与的夹角；(2)若，求tan 的值.解(1)因为|，所以(2cos )2sin27，所以cos .又因为(0，)，所以AOC.又因为AOB，所以与的夹角为.(2)(cos 2，sin )，(cos ，sin 2).因为，所以0，所以cos sin ，所以(cos sin )2，所以2sin cos .又因为(0，)，所以(，).因为(cos sin )212sin cos ，cos sin 0，故由1，2，得y11y1，y22y2，整理，得11，21，所以122()220.
