1、2.7函数的图象1.描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象.2.图象变换(1)平移变换(2)对称变换 yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yax (a0且a1)ylogax(a0且a1).yf(x)y|f(x)|.yf(x)yf(|x|).(3)伸缩变换yf(x)yf(ax).yf(x)yaf(x).1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同.()(2)函数yaf(
2、x)与yf(ax)(a0且a1)的图象相同.()(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称.()(5)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位得到函数yf(x1)的图象.()(6)不论a(a0且a1)取何值，函数yloga2|x1|的图象恒过定点(2,0).()2.(2013北京改编)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)_.答案ex1解析与yex图象关于y轴对称的函数为yex.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得yex的图象.f(x)的图象由yex
3、的图象向左平移一个单位得到.f(x)e(x1)ex1.3.函数yx|x|的图象大致是_.(填序号)答案解析y适合.4.关于函数ylog2的图象，下列说法正确的是_.(填序号)关于原点对称；关于直线yx对称；关于y轴对称；关于直线yx对称.答案 解析f(x)log2，f(x)log2log2.f(x)f(x)，f(x)是奇函数，故正确.5.使log2(x)x1成立的x的取值范围是_.答案(1,0)解析由下图得1x0)的函数是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程.作出下列函数的图象：(1)y|x2|(x1)；(2)y10|lg x|.解(1
4、)当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x22；当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x22.y这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).(2)当x1时，lg x0，y10|lg x|10lg xx；当0x1时，lg x0，y10|lg x|10lg x.y这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图).题型二识图与辨图例2(1)函数yax2bx与yx(ab0，|a|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是_.(填序号)(2)已知f(x)，则下列函数的图象正确的为_.(填序号)思维启迪(1)根据函数的定义域，特殊点和函数值的符号判断；(2)正确把
5、握图象变换的特征，结合f(x)的图象识辨.答案(1)(2)解析(1)函数yax2bx的两个零点是0，.对于，由抛物线的图象知，(0,1)，|(0,1).函数ylog|x不是增函数，错误；对于，由抛物线的图象知a0且1，b1，|1，函数ylog|x应为增函数，错误；对于，由抛物线的图象知a0，(1,0)，|(0,1)，满足ylog|x为减函数.(2)先在坐标平面内画出函数yf(x)的图象，再将函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到yf(x1)的图象，因此正确；作函数yf(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到yf(x)的图象，因此正确；yf(x)的值域是0,2，因此y|f(x)|的图象
6、与yf(x)的图象重合，正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是一个偶函数，当0x1时，yf(|x|)，相应这部分图象不是一条线段，因此不正确.综上所述，正确.思维升华函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象.(1)已知f(x)ax2，g(x)loga|x|(a0且a1)，若f(4)g(4)0，则yf(x)，yg(x)在同一坐标系内的大致图象为_.(2)已知函数f
7、(x)xsin x，x，的图象是下图中的一个，请选择后再根据图象作出下面的判断，若x1，x2(，)，且f(x1)f(x2)，则x与x的大小关系是_.答案(1)(2)xx解析(1)由f(4)g(4)a2loga40，得0a1，因此指数函数yax2(0a1)的图象即可确定，而yloga|x|(0a1)的图象结合函数的奇偶性即可作出.因此正确.(2)因f(x)xsin x是偶函数，所以应选择第二个图象.x1，x2(，)，|x1|，|x2|(0，)时函数为增函数，由f(x1)f(x2)得f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，即xx.题型三函数图象的应用例3(1)当0x时，4xlogax，则a的
8、取值范围是_.(2)(2013湖南改编)函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象的交点个数为_.思维启迪(1)可以通过函数y4x和ylogax图象的位置、特征确定a的范围；(2)画两函数图象、观察即可.答案(1)(，1)(2)2解析(1)0x，14x1，0a1.令f(x)4x，g(x)logax，当x时，f()2.(如图)而g()loga2，a.又g(x)logax，x0(0,1)，a1，a2(0,1)且a1loga1x0，要使当0x时，4xlogax成立，需a1.(2)画出两个函数f(x)，g(x)的图象，由图知f(x)，g(x)的图象的交点个数为2.思维升华(1)根据函数
9、图象，可以比较函数值大小，确定参数范围；(2)利用函数图象，可以解决一些形如f(x)g(x)方程的解或函数零点问题.(1)已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有_个.(2)直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则a的取值范围是_.答案(1)10(2)1a解析(1)观察图象可知，共有10个交点.(2)y作出图象，如图所示.此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a，要使y1与其有四个交点，只需a1a，1a.高考中的函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例：(5分)函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x
10、)的图象大致是_.(填序号)思维启迪根据函数的定义域、值域、单调性和特征点确定函数图象.解析由函数yf(x)的图象知，当x(0,2)时，f(x)1，所以f(x)0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以yf(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数.结合图象知，符合题意.答案温馨提醒(1)确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想.(2)对于给出图象的填空题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除.二、函数图象的变换问题典例：(5分)若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x1)的图象大致为_.思维启迪从yf(x)的图象可先得到yf(x)的
11、图象，再得到yf(x1)的图象.解析要想由yf(x)的图象得到yf(x1)的图象，需要先将yf(x)的图象关于x轴对称得到yf(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到yf(x1)的图象，根据上述步骤可知正确.答案温馨提醒(1)对图象的变换问题，从f(x)到f(axb)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别.(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定.三、图象应用典例：(5分)已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_.思维启迪先作函数y的图象，然后利用函数ykx2图象过(0，2)以及与y图象的两个交点确定k的范围.解析根据绝对值的意
12、义，y在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示.根据图象可知，当0k1或1k4时有两个交点.答案(0,1)(1,4)温馨提醒(1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质.(2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图.方法与技巧1.列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函
13、数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y的图象.2.合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况.失误与防范(1)解题时要注意运用“以形助数”或“以数辅形”；(2)要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对
14、称的区别.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)， (1,2)，(3,1)，则f()_.答案2解析由图象知f(3)1，1，f()f(1)2.2.函数y5x与函数y的图象关于_对称.答案原点解析y5x，可将函数y5x中的x，y分别换成x，y得到，故两者图象关于原点对称.3.若loga20，且a1)，则函数f(x)loga(x1)的图象大致是_.答案解析loga20，0a0，x0时，02x14或a1，当x(1,2时，(x1)1，所以有1loga2，即a2，所以1a2.3.已知函数f(x)的图象与直线yx恰有三个公
15、共点，则实数m的取值范围是_.答案1,2)解析令x24x2x，解得x1或x2，所以三个解必须为1，2和2，所以有1m2.4.已知函数f(x)若方程f(x)k无实数根，则实数k的取值范围是_.答案klg 解析在同一坐标系内作出函数yf(x)与yk的图象(如图)，若方程f(x)k无实数根，则两函数图象无交点，故kf(x1)f(x2)，则 称f(x)是(a，b)上的凸函数.在下列图象中，是凸函数图象的是_.(填序号)答案6.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，当P沿ABCM运动时，以点P经过的路程x为自变量，APM的面积为y，则下列图象中能大致表示函数yf(x)的图象是_.答案解析当x(0,1时，yx；当x(1,2时，y(x1)(2x)(3x)；当x(2,2.5时，y(2.5x)，故大致图象为.7.已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根.解f(x)作出函数图象如图.(1)函数的增区间为1,2，3，)；函数的减区间为(，1，2,3.(2)在同一坐标系中作出yf(x)和ym的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图).由图知0m1，Mm|0m1.