1、45函数的应用(二)45.1函数的零点与方程的解课程目标 1.了解函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点三者之间的关系；2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间，能借助函数的单调性及图象判断零点的个数 知识点一 函数的零点函数yf(x)的零点的定义：对于一般函数yf(x)，把使_f(x)0_的实数x叫做函数yf(x)的_零点_ 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)函数的零点是一个点()(2)函数yx21有零点()(3)有些函数没有零点()(4)函数y的零点是2或(2，0).()【解析】 (1)函数的零点是一个实数，不是一个点(2)函数yx21的零点是1和1.(3)如函
2、数yx21没有零点(4)函数y的零点是2. 知识点二函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的_实数解_，也就是函数yf(x)的图象与x轴的_公共点的横坐标_，即方程f(x)0有实数解函数yf(x)_有零点_函数yf(x)的图象与_x轴有公共点_ 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)方程ln x10的解是xe，则函数yln x1的零点是e.()(2)函数yx2x的图象与x轴有2个交点，所以函数yx2x有2个零点()(3)函数y2x1有1个零点()(4)函数y2lg x的图象与x轴有一个交点()【解析】 根据函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公
3、共点之间的关系知，这四个结论都正确 知识点三函数零点存在的判定方法如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是_一条连续不断_的曲线，且有_f(a)f(b)0_，那么函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得_f(c)0_，这个c也就是方程_f(x)0_的解 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)若函数yf(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0，则函数yf(x)在(a，b)内没有零点()(3)若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在(a，b)内一定有零点()(4)函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)0，则函数yf(x)在(a
4、，b)内有两个零点()【解析】 (1)若函数yf(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0.(2)若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在(a，b)内零点的个数不能判定如f(x)x2满足f(1)f(1)0，但零点为0.(3)若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在(a，b)内不一定有零点如f(x)满足f(1)f(1)0，但在(1，1)内没有零点(4)依据函数零点存在定理，只能判定函数在(a，b)内有零点，但不能判定有几个零点 若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则a_5_，b_6_【解析】 由于函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，所以2和3是方程x2axb0的两个根，所以2
5、3(a)，23b，所以a5，b6. 活学活用已知函数f(x)则函数f(x)的零点为(D)A，0 B2，0C D0【解析】 当x1时，由f(x)0，得2x10，所以x0；当x1时，由f(x)0，得1log2x0，所以x，不成立，所以函数的零点为0，故选D. 函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是(C)A(2，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2)【解析】 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(2)e240，f(1)e130，f(0)10，所以f(0)f(1)0.故函数f(x)的零点在(0，1)内 活学活用若函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是
6、(C)A(1，3) B(1，2)C(0，3) D(0，2)【解析】 易知函数f(x)2xa在区间(1，2)内单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)0，且f(2)0，即解得0a3. 在区间(3，5)上一定有零点的函数是(A)Af(x)2x ln (x2)3Bf(x)x33x5Cf(x)2x4Df(x)2【解析】 对于选项A，f(x)的图象在(3，5)上连续不断，且f(3)310ln e31030，所以f(x)2x ln (x2)3在区间(3，5)上有零点；而对于选项B，C，D，在(3，5)上都为单调函数，且都有f(3)f(5)0，所以函数在区间(3，5)上没有零
7、点 活学活用二次函数f(x)ax2bxc(a0)的部分对应值如下表：x32101234f(x)6m4664n6不求a，b，c的值，判断方程ax2bxc0的两根所在的区间是(A)A(3，1)，(2，4) B(3，1)，(1，1) C(1，1)，(1，2) D(，3)，(4，)【解析】 因为f(3)60，f(1)40，所以f(x)在区间(3，1)内必有实数根；又f(2)40，所以f(x)在区间(2，4)内必有实数根规律方法判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论(函数图象必须是一条连续不断的曲线).此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关
8、性质进行判断 函数f(x)x2xb2的零点的个数是_2_【解析】 令x2xb20.因为14b20，所以方程有两个实数根，即函数f(x)有两个零点 活学活用已知函数f(x)若方程f(x)2有两个解，则实数a的取值范围是_(，5)_【解析】 对于函数f(x)当x1时，由方程f(x)2，可得ln x12，解得xe，函数有一个零点；当x1时，则函数f(x)2只有一个零点，即x24xa2在x1时只有一个解因为yx24xa2的图象开口向上，对称轴为x2，函数在(，1)上单调递减，所以f(1)2，可得3a2，解得a5.故答案为(，5). 函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数是_2_【解析】 求函数
9、f(x)2x|log0.5x|1的零点，即求2x|log0.5x|10的解，即|log0.5x|的解作出函数g(x)|log0.5x|和函数h(x)的图象，如图所示由图知两函数的图象共有2个交点，故函数f(x)的零点个数是2. 活学活用函数f(x)2xlg (x1)2的零点个数是_1_【解析】 方法一：因为函数f(x)的图象在(1，)上是连续不断的，且f(0)10210，所以f(x)在区间(0，1)上必定存在零点又f(x)在(0，)上单调递增，故f(x)有且只有1个零点方法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x)22x和g(x)lg (x1)的图象如图所示由图象知这两个函数的图象有且只有1个交点
10、，即f(x)有且只有1个零点规律方法确定函数零点个数的方法：(1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决(2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数(3)能够将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，可用图象法解决(4)单调性法：如果能够确定函数在所给区间上有零点，且是单调函数，则零点只有1个【迁移探究】已知关于x的二次方程ax22(a1)xa10有两根，且一根大于2，另一根小于2，则实数a的取值范围是_(0，5)_【解析】 令f(x)ax22(a1)xa1，依题意得，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，另一个零点小于2.
11、所以f(x)的图象大致如图所示则a应满足或即或解得0a5，所以实数a的取值范围为(0，5).1若函数yx2bx1只有一个零点，则b的值为(C)A2 B2 C2 D3【解析】 因为函数只有一个零点，所以b240，所以b2.2方程x3x10在1，1.5内的实数根(C)A有3个 B有2个C至少有1个 D有0个【解析】 令f(x)x3x1，则f(1)10.故选C.3已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(C)A1，0) B0，)C1，) D1，)【解析】 函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C.4若函数f(x)|x24x|a的零点个数为3，则a_4_5函数f(x)ln xx2的零点个数是_2_【解析】 作出函数g(x)ln x和h(x)x2的图象如图所示由图可知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点