1、14.4不等式选讲1两个实数大小关系的基本事实abab0abab0ababb，那么ba；如果bb.即abbb，bc，那么ac.(3)可加性：如果ab，那么acbc.(4)可乘性：如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb0，那么anbn(nN，n1)(6)开方：如果ab0，那么(nN，n1)3绝对值三角不等式(1)性质1：|ab|a|b|.(2)性质2：|a|b|ab|.性质3：|a|b|ab|a|b|.4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)和|axb|c (c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb
2、|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想5基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2)定理(基本不等式)：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立也可以表述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值对两个正实数x，y，如果它们的和S是定值，则当且仅当xy时，它们的积P取得最大值；如果它们的积P是定值，则当且仅当xy时
3、，它们的和S取得最小值6三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么，当且仅当abc时，等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立7柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(
4、3)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立8证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道abab0，ababb，只要证明ab0即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不
5、等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切自然数成立1不等式|2x1|x2|0的解集为_答案x|1x1解析方法一原不等式即为|2x1|x2|，4x24x1x24x4，
6、3x23，1x1.方法二原不等式等价于不等式组或或不等式组无解，由得x1，由得1x.综上得1x1，所以原不等式的解集为x|1x12不等式1|x1|3的解集为_答案(4，2)(0,2)3(2013福建改编)设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A.则a的值为_答案1解析因为A，且A，所以|2|a，且|2|a，解得a.又因为aN*，所以a1.4已知a、b、m均为正数，且ab，M，N，则M、N的大小关系是_答案MN解析MN0，即Mbc解析分子有理化得a，b，cabc.题型一含绝对值的不等式的解法例1(2012课标全国)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；
7、(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0思维升华解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式
8、；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5方法二(1)同
9、方法一(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5题型二柯西不等式的应用例2已知3x22y26，求证：2xy.证明由于2xy(x)(y)，由柯西不等式(a1b1a2b2)2(aa)(bb)得(2xy)2()2()2(3x22y2)()6611，|2xy|，2xy.思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，
10、当且仅当adbc时等号成立若3x4y2，试求x2y2的最小值解由柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.不等式中当且仅当时等号成立，x2y2取得最小值，由方程组解得因此当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为.题型三不等式的证明方法例3已知a，b，c(0，)，且abc1，求证：(1)(1)(1)(1)8；(2).证明(1)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，(1)(1)(1)8.(2)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，2(abc)222，两边同加abc得3(abc)abc222()2.又abc1，()23，.思维升华用综合法证明不
11、等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野设a，b，c0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2) ()证明(1)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2
12、c2 (当且仅当abc时等号成立)证得原不等式成立(2) .在(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明.即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca (abc时等号成立)原不等式成立绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x1|x1|3.思维启迪本题不等式为|xa|xb|c型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法规范解答解方法一如图所示，设数轴上与1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.4分1x1x3，得
13、x.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离之和为3，B1对应数轴上的x，x1x(1)3.x.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都大于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.8分所以原不等式的解集是.10分方法二当x1时，原不等式可化为(x1)(x1)3，解得：x.3分当1x1时，原不等式可以化为x1(x1)3，即23.不成立，无解6分当x1时，原不等式可以化为x1x13.所以x.9分综上，可知原不等式的解集为.10分方法三将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，即y3分作出函数的图象，如图所示：函数的零点是，.从图象可知，
14、当x或x时，y0，8分即|x1|x1|30.所以原不等式的解集为.10分温馨提醒这三种方法是解|xa|xb|c型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.方法与技巧1解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m (m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便2不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法3柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教
15、材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式失误与防范1理解绝对值不等式的几何意义2掌握分类讨论的标准，做到不重不漏3利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征4注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立A组专项基础训练1已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，求集合AB.解|x3|x4|9，当x3时，x3(x4)9，即4x4时，x
16、3x49，即40，求证：2a3b32ab2a2b.证明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.3若a、b、c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，所以abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc0，这与abc0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.4(2013课标全国)设a、b、
17、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.5设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b0.故ab1ab.6(2013辽宁)已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)
18、当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.B组专项能力提升1若nN*，Sn，求证：Snn2，Sn12n.又n，Sn(1)(2)(n).Sn.2(2013课标全国)已知函数
19、f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x1，则，f(x)|2x1|2xa|当x时，f(x)a1，即a1x3在x上恒成立a13，即a，a的取值范围为.3(2012福建)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.(1)解因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.4设a，b，c为正实数，求证：abc2.证明因为a，b，c是正实数，由算术几何平均不等式可得3，即.所以abcabc.而abc2 2，当且仅当abc且abc时，取等号所以abc2.