1、3.5.2简单线性规划学习目标1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题知识链接已知1xy5，1xy3，求2x3y的取值范围解答时容易错误地利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x，y的范围，再分别求出2x及3y的范围，然后相加得2x3y的取值范围由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使x，y的取值范围扩大，得出错误的2x3y的取值范围如果把1xy5，1xy3看作变量x，y满足的条件，把求2x3y的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求z2x3y的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问
2、题预习导引1线性规划中的基本概念名称定义目标函数要求最大值或最小值的函数，叫做目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性目标函数如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数线性约束条件如果目标函数是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题最优解使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解可行解满足线性约束条件的解，叫做可行解可行域由所有可行解组成的集合叫做可行域2.目标函数的最值线性目标函数zaxby (b0)对应的斜截式直线方程是yx，在y轴上的截距是，当z变化时，方程
3、表示一组互相平行的直线当b0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为_答案解析将zaxy变形，得yaxz.当它与直线AC重合时，z取最大值的点有无穷多个kAC，a，即a.4已知实数x、y满足约束条件则z2x4y的最大值为_答案8解析由不等式组表示的可行域知，目标函数z在点(0,2)处取得最大值8.1用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求
4、出最大值或最小值2作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解3在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题一、基础达标1若点(x, y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域， 则2xy的最小值为()A6 B2C0 D2答案A解析画出可行域，如图所示，设z2xy，把z2xy变形为y2xz，则直线经过点A时z取得最小值；由得A(2,2)，所以zmin2(2)26，故选A.2若实数x，y满足不等式组则xy的最大值为()A9 B.C1
5、D.答案A解析设zxy，则yxz.画出可行域如图：当直线yxz过点A时，z最大由得A(4,5)，zmax459.3设变量x, y满足约束条件 则目标函数zy2x的最小值为()A7 B4C1 D2答案A解析由zy2x，得y2xz，作出可行域如图，平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz经过点D时，直线y2xz的截距最小，此时z最小，由得即D(5,3)将D点坐标代入zy2x，得z3257，故选A.4设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为_答案3，11解析作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z3x4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值易求A(3,5)，B(5,3
6、)zmax35433，zmin334511.5已知1xy4且2xy3，且z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)答案3,8解析作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示在可行域内平移直线2x3y0，当直线经过xy2与xy4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值，zmin23313；当直线经过xy1与xy3的交点B(1，2)时，目标函数有最大值，zmax21328.所以z3,86已知x，y满足 z2xy，求z的最大值和最小值解z2xy可化为y2xz，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候如图，作一组与l0：2xy0平
7、行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，zmax2528.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，zmin214.42.4.7某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于多少？ 解设该公司合理计划当天派用甲，乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件x，y满足的约束条件为目标函数z
8、450x350y.作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x350yz0知，当直线经过直线xy12与2xy19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z450735054 900(元)二、能力提升8已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a等于()A. B. C1 D2答案B解析先根据约束条件画出可行域，如图，设z2xy，则y2xz，将最大值转化为y轴上的截距，当直线y2xz经过点B时，z最小，由得zmin22a1，得a，故选B.9已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则zOO的最大值为_答案4解析
9、由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数zxy，将其化为yxz，结合图形可知，目标函数的图象过点B(，2)时，z最大，将点(，2)代入zxy得z的最大值为4.10在线性约束条件下，求z2xy的最大值和最小值解如图作出线性约束条件下的可行域，包含边界：其中三条直线中x3y12与3xy12交于点A(3,3)，xy10与x3y12交于点B(9,1)，xy10与3xy12交于点C(1,9)，作一组与直线2xy0平行的直线l：2xyz.即y2xz，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为z，当l经过点B时，z取最小值，此时z最大，即zmax29117；当l经过点C时，z取最大值，此时z最小，
10、即zmin2197.zmax17，zmin7.11预算用2 000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数zxy，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由解得所以A点的坐标为(，)由解得所以B点的坐标为(25，)所以满足条件的可行域是以A(，)、B(25，)、O(0,0)为顶点的三角形区域(如图)由图形可知，目标函数zxy在可行域内的最优解为B(25，)，但注意到xN，yN，故取故买桌子25张，椅子37把是最好的选择三、探究与创新12某公司计划2
11、015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得即目标函数为z3 000x2 000y.作出可行域如图所示：作直线l：3 000x2 000y0，即3x2y0.平移直线l，由图可知当l过点M时，目标函数z取得最大值由得M(100,200)zmax3 0001002 000200700 000(元)答该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元