1、2.2.1等差数列(二)学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题知识链接在等差数列an中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式ana1(n1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？预习导引1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是关于n的常函数；当d0时，点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点2等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列an中，已知a1，d, am, an(m
2、n)，则d，从而有anam(nm)d.(2)项的运算性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq.3等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.(2)若an、bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)(3)an的公差为d，则d0an为递增数列；d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.方
3、法二若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)，依题意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1d代入a(a3d)8，得(1d)(1d)8，即1d 28，化简得d24，所以d2或2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，故所求的四个数为2,0,2,4.要点三由递推关系式构造等差数列求通项例3已知数列an满足a1，且当n1，nN时，有，设bn，nN.(1)求证：数列bn为等差数列(2)试问a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由(1)证明当n1，nN时，224bnbn14，且b15.bn是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解由(1)知bnb1(n1)d5
4、4(n1)4n1.an，nN.a1，a2，a1a2.令an，n11.即a1a2a11，a1a2是数列an中的项，是第11项规律方法已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力跟踪演练3在数列an中，a12，an1an2n1.(1)求证：数列an2n为等差数列；(2)设数列bn满足bn2log2(an1n)，求bn的通项公式(1)证明(an12n1)(an2n)an1an2n1(与n无关)，故数列an2n为等差数列，且公差d1.(2)解由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1，故an2nn1，所以bn
5、2log2(an1n)2n.要点四等差数列的实际应用例4甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个请您根据提供的信息说明，求(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由(3)哪一年的规模最大？请说明理由解由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为an，公差为d1，且a11，a62；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为bn，公
6、差为d2，且b130，b610；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则cnanbn.(1)由a11，a62，得a21.2；由b130，b610，得b226.所以c2a2b21.22631.2.(2)c6a6b621020c1a1b130，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了(3)an1(n1)0.20.2n0.8，bn30(n1)(4)4n34(1n6)，cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6)2与的距离最近，当n2时，cn最大所以(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了
7、；(3)第2年的规模最大规律方法本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华跟踪演练4某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120，(n2，nN)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)(20)
8、20n220.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an20n22011，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损1在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于()A3B6C4D3答案B解析由等差数列的性质，得a8a3(83)d5d，所以d6.2在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于()A32 B32C35 D35答案C解析由a8a4(84)d4d，得d3，所以a15a8(158)d147335.3在等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于()A3 B3C. D答案A解析由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.4某市出租车的起步价为10元，即最
9、初的4 km(不含4 km)计费为10元，超出4 km(含4 km)的路程，按1.2元/km的标准计费如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以，我们可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2表示4 km处的车费，公差d1.2.那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费为a11a110d11.2101.223.2(元)答需要支付车费23.2元1在等差数列an中，当mn时，d为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(
10、mn)d.2等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列3等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN)，特别地，若mn2p，则anam2ap.4在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的方程(组)求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量一、基础达标1已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m为()A12B8C6 D4答案B解析由等差数列性质a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84
11、a832，a88，又d0，m8.2设公差为2的等差数列an，如果a1a4a7a9750，那么a3a6a9a99等于()A182 B78C148 D82答案D解析a3a6a9a99(a12d)(a42d)(a72d)(a972d)(a1a4a97)2d33502(2)3382.3下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列；其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4答案D解析设ana1(n1)ddna1d，因为d0，所以p1正确；an3nd4dna1d，因4d0，
12、所以是递增数列，p4正确，故选D.4在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为()A4 B6C8 D10答案C解析由a2a4a6a8a105a680，a616，a7a8(2a7a8)(a6a8a8)a68.5在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.答案20 解析依题意2a19d10，所以3a5a73(a14d)a16d4a118d20.6若a，b，c成等差数列，则二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点的个数为_答案1或2解析a，b，c成等差数列，2bac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点个数为1或2.7在
13、等差数列an中，已知amn，anm，求amn的值解方法一设公差为d，则d1，从而amnam(mnm)dnn(1)0.方法二设等差数列的通项公式为ananb(a，b为常数)，则得a1，bmn.所以amna(mn)b0.二、能力提升8在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8的值等于()A45 B75C180 D300答案C解析a3a4a5a6a7(a3a7)(a4a6)a55a5450，a590.a2a82a5180.9已知数列an为等差数列且a1a7a134，则tan(a2a12)的值为()A. BC D答案D解析由等差数列的性质得a1a7a133a74，a7.tan(a2a1
14、2)tan(2a7)tantan.10在等差数列an中，a3，a10是方程x23x50的根，则a5a8_.答案3解析由根与系数关系，得a5a8a3a103.11成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d，则由题设得解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.12在正项数列an中，a11，an1an.(1)数列是否为等差数列？说明理由(2)求an.解(1)an1an，an1an，()()，1，是等差数列，公差为1.(2)由(1)知是等差数列，且d1，(n1)d1(n1)1n，ann2.三、探究与创新13已知数列an，满足a12，an1.(1)数列是否为等差数列？说明理由(2)求an.解(1)数列是等差数列，理由如下：a12，an1，即是首项为，公差为d的等差数列(2)由上述可知(n1)d，an.