1、山东省潍坊市2021届高三数学二模试题（含解析）一、单项选择题（共8小题）.1sin20sin10cos20cos10（）ABCD2在复数范围内，已知p，q为实数，1i是关于x的方程x2+px+q0的一个根，则p+q（）A2B1C0D13已知集合A0，Bx|xa，若ABA，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（，0C（0，+）D0，+）42021年是中国共产党百年华诞某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演现从歌唱祖国英雄赞歌唱支山歌给党听毛主席派人来4首独唱歌曲和没有共产党就没有新中国我和我的祖国2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方
2、法共有（）A14B48C72D1205尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE4.8+1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量大约是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放能量的少倍？（参考数值：3.162，2.154）（）A31.6B15.8C4.6D1.56关于函数f（x），其中a，bR，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；丁：方程f（x）有两个根若上述四个结论中有且只有一个结论错误，
3、则该错误结论是（）A甲B乙C丙D丁7已知函数f（x）sin（2x+），若函数g（x）f（x）a（aR）在x0，上恰有三个零点x1，x2，x3（x1x2x3），则x3x1的值是（）ABCD28在菱形ABCD中，AB6，A60，连结BD，沿BD把ABD折起，使得二面角ABDC的大小为60，连结AC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A13B24C36D52二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分9定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（2x），且在0，2上是增函数，下面判断正确
4、的是（）Af（x）的周期是4Bf（2）是函数的最大值Cf（x）的图象关于点（2，0）对称Df（x）在2，6上是减函数10已知a0，b0，a+2b1，下列结论正确的是（）A的最小值为9Ba2+b2的最小值为Clog2a+log2b的最小值为3D2a+4b的最小值为211已知双曲线C：x21，其左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作一直线与双曲线C的右支交于点P，Q，且0，则下列结论正确的是（）APF1Q的周长为4BPF1F2的面积为3C|PF1|+1DPF1Q的内切圆半径为112连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成
5、三角形，且甲、乙的选择互不影响，则（）A甲选择的三个点构成正三角形的概率为B甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为C乙选择的三个点构成正三角形的概率为D甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13设（x+1）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1+a2+a3+a4 14数学史上著名的“冰雹猜想”指的是：任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421按照上述猜想可得到一个以m为首项的无穷数列记作an，an满足的递推
6、关系为a1m，an+1如取m6，根据上述运算法则得出a91，a104，若a71，则满足条件的一个m的值为 15已知一张纸上画有半径为2的圆O，在圆0内有一个定点A，且OA1，折叠纸片，使圆上某一点A刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取遍圆上所有点时，所有折痕与OA的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为 16已知向量，满足|+|3，|1且+1（+），则|的取值范围是 四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况，随机选取了100名学生进行调查，其中男生有60人下面是根据调查结果绘
7、制的学生日均校内体育锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图将日均校内体育锻炼时间在60，80内的学生评价为“锻炼时间达标”，已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生（1）若该校共有2000名学生，请估计该校“锻炼时间达标”的学生人数；（2）根据样本数据完成下面的22列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关？是否达标性别锻炼时间达标锻炼时间未达标合计男女合计附：K2，P（K2k）0.100.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82818如图，D为ABC中BC边上一点，B60，AB4，AC4给出如下三种数值方案：AD；AD；AD2判断上述三
8、种方案所对应的ABD的个数，并求ABD唯一时，BD的长19如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，PDCD1，PA与平面ABCD所成角为30，M为PB上一点且CMPA（1）证明：PADM；（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上取点N使，Q为线段PN上一动点，求平面ACQ与平面PDC所成二面角的余弦值的最大值20已知函数f（x）的单调递增区间是0，1，极大值是（1）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若存在非零实数x0，使得f（x0）1，m0，求f（x）在区间（，m上的最小值21已知一个半径为的圆的圆心在抛物线C：y22px（p0）上，该圆
9、经过坐标原点且与C的准线l相切过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点（1）求C的方程；（2）当|PQ|MN|时，求直线AB的方程22设anxn，bn，Sn为数列anbn的前n项和，令fn（x）Sn1，其中xR，nN+（1）当x2时，数列an中是否存在三项，使其成等差数列？并说明理由；（2）证明：对nN+，关于x的方程fn（x）0在x，1上有且仅有一个根xn；（3）证明：对pN+，由（2）中x0构成的数列xn满足0xnxn+p参考答案一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中
10、，只有一项是符合题目要求的。1sin20sin10cos20cos10（）ABCD解：sin20sin10cos20cos10（cos20cos10sin20sin10）cos（20+10）cos30故选：A2在复数范围内，已知p，q为实数，1i是关于x的方程x2+px+q0的一个根，则p+q（）A2B1C0D1解：因为1i是关于x的方程x2+px+q0的一个根，则1+i是方程x2+px+q0的另一个根，由韦达定理可得1+i+（1i）p，（1+i）（1i）q，解得p2，q2，所以p+q0故选：C3已知集合A0，Bx|xa，若ABA，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（，0C（0，+）D0，+
11、）解：ABA，AB，且A0，Bx|xa，a0，a的取值范围是0，+）故选：D42021年是中国共产党百年华诞某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演现从歌唱祖国英雄赞歌唱支山歌给党听毛主席派人来4首独唱歌曲和没有共产党就没有新中国我和我的祖国2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（）A14B48C72D120解：根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有A5360种安排方法，则有260120种不同的安排方法，故选：D5尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究
12、已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE4.8+1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量大约是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放能量的少倍？（参考数值：3.162，2.154）（）A31.6B15.8C4.6D1.5解：设日本地震释放的能量为E1，汶川地震释放的能量为E2，则由已知可得lgE14.8+1.5918.3，lgE24.8+1.5816.8，所以E，E，则10103.16231.62，所以日本地震释放的能量约为汶川地震释放的能量的31.6倍，故选：A6关于函数f（x），其
13、中a，bR，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；丁：方程f（x）有两个根若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（）A甲B乙C丙D丁解：当x0，2时，f（x）2xa为增函数，当x2，+）时，f（x）bx为减函数，故6和4只有一个是函数的零点，即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙、丁均正确由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则f（0）20a0，得a1，若甲正确，则f（6）0，即b60，b6，可得f（x），由f（x），可得或，解得x或x，方程f（x）有两个根，故丁正确故甲正确，乙错误故选：B7已知函数f（x）sin（2x+），
14、若函数g（x）f（x）a（aR）在x0，上恰有三个零点x1，x2，x3（x1x2x3），则x3x1的值是（）ABCD2解：当x0，2x+，函数g（x）f（x）a（aR）在x0，上恰有三个零点x1，x2，x3（x1x2x3），由图象的对称性可得（2x1+2x2+ ），（2x2+2x3+），则两式相减可得x3x1的值是，故选：C8在菱形ABCD中，AB6，A60，连结BD，沿BD把ABD折起，使得二面角ABDC的大小为60，连结AC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A13B24C36D52解：如图，取BD的中点记为O，连接OC，OA，分别取BCD与ABD的外心E与F，过这两点分别作平面BDC
15、、平面ABD的垂线，交于点P，则P就是外接球的球心，连接OP，CP，AOC为二面角ABDC的平面角为60，则AOC是等边三角形，其边长为6，OE，在POE中，POE30，PEOEtan30又CE，PCR，则四面体ABCD的外接球的表面积为4故选：D二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分9定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（2x），且在0，2上是增函数，下面判断正确的是（）Af（x）的周期是4Bf（2）是函数的最大值Cf（x）的图象关于点（2，0）对称Df（x）在2，6上是
16、减函数解：定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（2x），得f（x+2+2）f（2x2）f（x）f（x），即f（x+4）f（x），则f（x+8）f（x+4）f（x）f（x）f（x）的周期为8函数f（x）的图形如下：由图可得，正确答案为：B，D故选：BD10已知a0，b0，a+2b1，下列结论正确的是（）A的最小值为9Ba2+b2的最小值为Clog2a+log2b的最小值为3D2a+4b的最小值为2解：因为a0，b0，a+2b1，所以（）（a+2b）5+9，当且仅当ab时取等号，取得最小值9，A正确；a2+b2b2+（12b）25b24b+15（b）2+，根据二次函数的性质可知，当b时，上
17、式取得最小值，B错误；因为1a+2b，当且仅当a2b，即a时取等号，所以ab，log2a+log2blog2ab3，即最大值3，C错误；2a+4b2，当且仅当a2b，即a时取等号，此时2a+4b取得最小值2，D正确故选：AD11已知双曲线C：x21，其左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作一直线与双曲线C的右支交于点P，Q，且0，则下列结论正确的是（）APF1Q的周长为4BPF1F2的面积为3C|PF1|+1DPF1Q的内切圆半径为1解：如图，由双曲线方程x21，得a21，b23，可得，则|F1F2|4，由双曲线定义可得：|PF1|PF2|QF1|QF2|2，0，F1PQ90，则16，|PF1
18、|+|PF2|从而RtF1PQ的内切圆半径：r故PF1Q的内切圆半径为，故D正确；联立，解得|PF1|+1，|PF2|1，故C正确；，故B正确；由|PF1|PF2|QF1|QF2|2，且|PF1|+1，|PF2|1，解得：，PF1Q的周长为，故A错误故选：BCD12连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则（）A甲选择的三个点构成正三角形的概率为B甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为C乙选择的三个点构成正三角形的概率为D甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概
19、率为解：甲随机选择的情况有种，乙随机选择的情况有种，对于A，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种，故甲选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项A正确；对于B，甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：上下两点都选，中间四个点中选一个，共有4种；上下两点钟选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有种；中间四个点中选三个点，共有种，故共有4+4+412种，所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为，故选项B正确；对于C，乙选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个
20、面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有种，所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项C错误；对于D，选择的三个点构成等腰直角三角形同上所求，共有8+1624种，概率为，甲乙相似，则甲乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为，故选项D正确故选：ABD三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13设（x+1）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1+a2+a3+a415解：（x+1）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x1得：2416a0+a1+a2+a3+a4，令x0得：1a
21、0，a1+a2+a3+a416115，故答案为：1514数学史上著名的“冰雹猜想”指的是：任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421按照上述猜想可得到一个以m为首项的无穷数列记作an，an满足的递推关系为a1m，an+1如取m6，根据上述运算法则得出a91，a104，若a71，则满足条件的一个m的值为1解：若a71，则a62，a54，a48或1，当a48时，a316，a232或5，若a232，则a164；若a25，则a110，若a41时，a32，a24，a18或1，综上所述，m的值为1或8或10或6
22、4，故答案为：1或8或10或64（只需填一个）15已知一张纸上画有半径为2的圆O，在圆0内有一个定点A，且OA1，折叠纸片，使圆上某一点A刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取遍圆上所有点时，所有折痕与OA的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为解：以OA中点为G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系可知O（），A（），设折痕与OA和AA分别交于M，N两点，则MN垂直平分AA，|MA|MA|，又|AO|MO|+|AM|，|MO|+|MA|2，M的轨迹是以O，A为焦点，2为长轴的椭圆M的轨迹方程C为，曲线C上的点到点O距离的最大值为d1+，曲线
23、C上的点到圆O上的点的最大距离为d+r故答案为：16已知向量，满足|+|3，|1且+1（+），则|的取值范围是1，5解：|+|3，494，|+1|（）|（）|3，42，19425，125，即1|5故答案为1，5四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况，随机选取了100名学生进行调查，其中男生有60人下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图将日均校内体育锻炼时间在60，80内的学生评价为“锻炼时间达标”，已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生（1）若该校共有2000名学生，请估计
24、该校“锻炼时间达标”的学生人数；（2）根据样本数据完成下面的22列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关？是否达标性别锻炼时间达标锻炼时间未达标合计男女合计附：K2，P（K2k）0.100.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828解：（1）由频率分布直方图可得：在日均校内体育锻炼时间在60，80内“锻炼时间达标”的学生概率为：0.01010+0.005100.15，其人数为：1000.01515人，已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生，所以男生有10人未达标人数中男生：601050人，女生：10060535人；若该校共有2000名
25、学生，该校“锻炼时间达标”的学生人数为：20000.15300人；（2）根据样本数据完成下面的22列联表，是否达标性别锻炼时间达标锻炼时间未达标合计男105060女53540合计1585100K20.3276.635，故答案为：没有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关18如图，D为ABC中BC边上一点，B60，AB4，AC4给出如下三种数值方案：AD；AD；AD2判断上述三种方案所对应的ABD的个数，并求ABD唯一时，BD的长解：B60，AB4，过A作BC的垂线AO，垂足为O，则AO4sin604AD，此时满足条件的ABD有0个；AD（，4），此时满足条件的三角形有2个；AD2（4，），
26、此时满足条件的ABD有1个此时AD2AB2+BD22ABBDcos60，解得BD619如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，PDCD1，PA与平面ABCD所成角为30，M为PB上一点且CMPA（1）证明：PADM；（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上取点N使，Q为线段PN上一动点，求平面ACQ与平面PDC所成二面角的余弦值的最大值解：（1）证明：四边形ABCD为矩形，ADCD，PD平面ABCD，PDCD，ADPDD，AD，PD平面PAD，CD平面PAD，PA平面PAD，PACD，CMPA，CMCDC，CM，CD平面CMD，PA平面CMD，DM平面CMD
27、，PADM（2）PD平面ABCD，PAD为PA与平面ABCD所成角，PA与平面ABCD所成角为30，PAD30，PD1，AD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，AD，PDCD1，PN，令PQ（0），则D（0，0，0），A（，0，0），C（0，1，0），Q（，0，1），（，1，0），（，1，1），设（x，y，z）是平面ACQ的一个法向量，则，取x1，得（1，），平面PDC的一个法向量为（1，0，0），cos，0，当时，cos的最大值，平面ACQ与平面PDC所成二面角的余弦值的最大值为20已知函数f（x）的单调递增区间是0，1，极大值是（1）求曲线yf（x）在点（
28、1，f（1）处的切线方程；（2）若存在非零实数x0，使得f（x0）1，m0，求f（x）在区间（，m上的最小值解：（1）f（x），f（x），f（x）的递增区间是0，1，ax2+（2ab）x+bc0的根是0和1，故，故abc，又f（x）的极大值是，故f（1），故abc1，故f（x），f（x），故f（1）e，f（1）2e，则f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是：y2exe（2）f（x）在（，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，且f（0）1，当x（，0时，f（x）minf（0）1，若存在非零实数x0，使得f（x0）1，则x00，0mx0时，f（x）在（，0递减，在（0，
29、m递增，故f（x）在区间（，m上的最小值是f（0）1，mx0时，f（x）在（，0递减，在（0，1）递增，在（1，m递减，故f（x）minf（m）21已知一个半径为的圆的圆心在抛物线C：y22px（p0）上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点（1）求C的方程；（2）当|PQ|MN|时，求直线AB的方程解：（1）设一个半径为的圆的圆心的坐标为（x0，y0），可得y022px0，由抛物线的焦点为（，0），准线方程为x，可得x02+y02x02+2px0（x0+）2，解得p2，则
30、抛物线的方程为y24x；（2）由F（1，0），准线方程为x1，设直线AB的方程为xmy+1，与抛物线的方程y24x联立，可得y24my40，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y24m，y1y24，x1+x2m（y1+y2）+22+4m2，则AB的中点M的坐标为（1+2m2，2m），由N（1，2m），可得|MN|2+2m2，OA的方程为yx即yx，OB的方程为yx，即yx，代入y2m，可得P（，2m），Q（，2m），|PQ|m（y1y2）|MN|（2+2m2），即为m2（16m2+16）（2+2m2）2，解得m，所以直线AB的方程为xy+1，即为y2x2或y2x+222设anxn，b
31、n，Sn为数列anbn的前n项和，令fn（x）Sn1，其中xR，nN+（1）当x2时，数列an中是否存在三项，使其成等差数列？并说明理由；（2）证明：对nN+，关于x的方程fn（x）0在x，1上有且仅有一个根xn；（3）证明：对pN+，由（2）中x0构成的数列xn满足0xnxn+p解：（1）当x2时，an2n，若存在三项2m，2n，2t成等差数列（mnt，m，n，tN*），则有2m+2t2n+1，1+2tm2n+1m，易知等式左边为奇数，右边为偶数，数列an中不存在三项，使其成等差数列；（2）证明：由题意，+，当x，1时，fn（x）0恒成立，fn（x）单调递增，此时fn（1）+0，+0，存在唯一的实数xn，1，使得fn（x）0，得证；（3）证明：当x0时，fn+1（x）fn（x）+fn（x），fn+1（xn）fn（xn）fn+1（xn+1）0，fn+1（x）在x（0，+）单调递增，xn+1xn，即xn单调递减，故对正整数p，都有xnxn+p0，又fn（xn）+0，fn+p（xn+p）0，两式相减，得，xnxn+p+，xn+p，1，xnxn+p，即数列xn满足0xnxn+p，得证