1、12应用举例(一)学习目标1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神知识链接“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘预习导引1仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图2方位角和方向角从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，方位
2、角的范围是0,2从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角叫方向角，如北偏东30，南偏东45.3坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度要点一测量底部不能到达的建筑物的高度例1如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.解在ABC中，BCA90，ABC90，CAD ，BAC.根据正弦定理得，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin .答山的高度为.规律方法利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，
3、进行适当的简化跟踪演练1某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65，则山的高度为_ m(精确到1 m，sin 350.574)答案812解析过点D作DEAC交BC于E，因为DAC20，所以ADE160，于是ADB36016065135.又BAD352015，所以ABD30.在ABD中，由正弦定理，AB1 000(m)在RtABC中，BCABsin 35812(m)要点二测量仰角求高度问题例2如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C
4、到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1) (m)即山的高度为800(1) m.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解跟踪演练2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解在BCD中，BCD，BDC，CBD180()，即.BCs.在ABC中，由于ABC90，t
5、an ，ABBCtan s.要点三测量两个不能到达点之间的距离问题例3如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为 km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A、B两点间的距离解在BCD中，CBD1803010545，由正弦定理得，则BC ( km)在ACD中，CAD180606060，ACD为正三角形ACCD(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 452，AB(km)所以河对岸A、B两点间距离为 km.规律方法测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能
6、到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决跟踪演练3要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距100米的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离解如图在ACD中，CAD180(12030)30，ACCD100(米)在BCD中，CBD180(4575)60，由正弦定理得BC200sin 75(米)在ABC中，由余弦定理，得AB2(100)2(200sin 75)22100200sin 75cos 751002(342sin 150)10025AB100(米)答河对岸A、B两点间的距离为100米1如图，在河岸AC上测量河
7、的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是 ()Aa，c， Bb，c， Cc，a， Db，答案D解析由、可求出，由、b，可利用正弦定理求出BC.故选D.2如图，某人向东方向走了x千米，然后向右转120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是_答案4解析由余弦定理：x293x13，整理得：x23x40，解得x4.3甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_m，_m. 答案20解析甲楼的高为20tan602020(m)；乙楼的高为：2020tan302020(m)4如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同
8、侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A、B两点的距离为_m.答案50解析由题意知ABC30，由正弦定理，得，AB50(m)5江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.答案30解析设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，在ABC中，由题意可知AC30(m)，BC30(m)，C30，AB2(30)230223030cos 30900，AB30(m)1运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两
9、个不可到达点间的距离” 要综合运用正弦定理和余弦定理. 无论测量“底部不能到达的建筑物的高度”，还是测量“两个不可到达点间的距离”都需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离2正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解一、基础达标1海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成6
10、0的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析由题意知，在ABC中，AB10(n mile)，A60，B75，则C180AB45.由正弦定理，得BC5 (n mile)2甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 ()A6 km B3 km C3 km D3 km答案C解析由题意知，AB246(km)，BAS30，ASB753045
11、.由正弦定理，得BS3(km)3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是()A10 m B10 m C10 m D10 m答案D解析在BCD中，CD10(m)，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得，BC10(m)在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(m)4在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A200 m B300 m
12、 C400 m D100 m答案B解析方法一如图，BED，BDC为等腰三角形，BDED600(m)，BCDC200(m)在BCD中，由余弦定理可得cos2，230，460.在RtABC中，ABBCsin4200300(m)，故选B.方法二由于BCD是等腰三角形，BDDCcos2，即300200cos2.cos2，230，460.在RtABC中，ABBCsin4200300(m)，故选B.5如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_m.答案60解析在ABC中，CAB30，CBA75，ACB75.ACBABC.AC
13、AB120 (m)如图，作CDAB，垂足为D，则CD即为河的宽度由正弦定理得，CD60(m)河的宽度为60 m.6如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法解选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上由在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CDa，测角仪器的高是h.那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC，ABAEhACsin hh.二、能力提升7某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A15 m B5 mC10 m D12 m答案C解析如图，设塔高
14、为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则OD h.在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos 120，h25h500，解得h10或h5(舍)8要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A100 m B400 mC200 m D500 m答案D解析 由题意画出示意图，设高ABh
15、m，在RtABC中，由已知得BCh m，在RtABD中，由已知得BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得，3h2h25002h500，解之得h500 (m)故选D.9如图所示，在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60 m的地面上取一点A，若测得CAD45，求此电视塔的高度解设CDx m，BAC，则ABC中，tan .又DAB45，tanDABtan(45)又tan(45)3.3，解得x150 m.答所以电视塔的高度为150 m.10如图，某人在塔的正东方沿着南偏西60的方向前进40 m以后，望见塔在东北方向若沿途测得塔的最大仰角为30，求
16、塔的高度解在BCD中，CD40 m，BCD906030，DBC4590135.由正弦定理，得，BD20(m)在RtABE中，tanAEB，AB为定值，故要使AEB最大，需要BE最小，即BECD，这时AEB30.在BCD中，BDE1801353015，BEBDsinBDE20sin 1510(1)(m)在RtABE中，ABBEtanAEB10(1)tan 30(3)(m)答塔的高度为(3) m.11.如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140.A处有一灯塔，其方位角是110，在C处观察灯塔A的方位角是35，由B到C需航行半个小时，求C到灯塔A的距离解在ABC中，
17、BC4020(km)，ABC14011030，ACB(180140)3575，BAC75.由正弦定理，得，AC10()(km)答C到灯塔A的距离为10()km.三、探究与创新12如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449). 解在ADC中，DAC30.ADC60DAC30，CDAC0.1(km)又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，BDBA.在ABC中，即AB(km)因此，BD0.33(km)，故B，D的距离约为0.33 km.