1、12应用举例(一)学习目标1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神知识链接在本章“解三角形” 引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？预习导引1基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线一般来说，基线越长，测量的精确度越高2仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时
2、叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角(如下图所示)要点一测量可到达点与不可到达点间的距离例1如下图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是a，BAC，ACB.求A、B两点间的距离解在ABC中，根据正弦定理，得， AB.答A、B两点间的距离为.规律方法解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解跟踪演练1如图，在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_千米答案解析由题意知C180AB
3、45，由正弦定理得，AC.要点二测量两个不可到达点间的距离例2在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离解ADCADBCDB60，又DCA60，DAC60.ADCDACa.在BCD中，DBC45，BCa.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 45a2a22aaa2.ABa.蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.规律方法测量两个不可到达的点之间的距离问题首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长
4、问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边跟踪演练2如下图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA 60，那么此时A、B两点间的距离是多少？解应用正弦定理得AC20(1)，BC40.在ABC中，由余弦定理得AB20 m.A、B两点间的距离为20米1如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()Aa，c， Bb，c， Cc，a， Db，答案D解析由、可求出，由、b，可利用正弦定理求出BC.故选D.2某人向东方向走了x千米，然后向右转120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x
5、的值是_答案4解析由余弦定理：得x293x13，整理得：x23x40，解得x4(x1舍去)3如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，求A、B两点的距离解由题意知ABC30，由正弦定理，AB50(m)答A、B两点间的距离为50 m.1.解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需
6、设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解2正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解一、基础达标1海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是()A10 n mile B. n mileC5 n mile D
7、5 n mile答案D解析由题意知，在ABC中AB10，A60，B75，则C180AB45.由正弦定理，得BC5(n mile)2甲骑电动自行车以 24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A6 km B3 kmC. 3 km D3 km 答案C解析由题意知，AB246 km，BAS30，ASB753045.由正弦定理，得BS3.3如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽
8、度为_m.答案60解析在ABC中，CAB30，CBA75，ACB75.ACBABC.ACAB120(m)如图，作CDAB，垂足为D，则CD即为河的宽度由正弦定理得，CD60(m)河的宽度为60 m.4如图，一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行在A处看灯塔S在船的北偏东20的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？解在ABS中，AB32.20.516.1 (n mile)，ABS115 ，根据正弦定理，ASABsinABS16.1sin 115，S到直线AB的距离
9、是dASsin 2016.1sin 115sin 207.06(n mile)由于7.066.5，所以这艘船可以继续沿正北方向航行5要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离解如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD (km)在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC (km)在ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB (km)A、B之间的距离为 km.二、能力提升6一架飞机从A地飞到B地，两地相距700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机
10、场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35夹角的方向继续飞行直到终点这样飞机的飞行路程比原来路程700 km远了多少？解在ABC中，AB700 km，ACB1802135124，根据正弦定理，AC，BC，ACBC786.89(km)，7868970086.89(km)答所以路程比原来远了约86.89 km.7某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解由题设，画出示意
11、图，设汽车前进20千米后到达B处在ABC中，AC31，BC20，AB21，由余弦定理得cos C，则sin2C1 cos2C， sin C，所以sinMACsin(120C)sin 120cos Ccos 120sin C.在MAC中，由正弦定理，得MC35.从而有MB MCBC15.答汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站三、探究与创新8如右图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45方向，此人向北偏西75方向前进 km到达D处，看到A在他的北偏东45方向，B在北偏东75方向，试求这两座建筑物之间的距离解依题意得，DC，ADBBCD30BDC，DBC120，ADC60，DAC45.在BDC中，由正弦定理可得，BC，在ADC中，由正弦定理可得，AC3.在ABC中，由余弦定理可得AB2AC2BC22ACBCcosACB(3)2()223cos 4525，AB5.答这两座建筑物之间的距离为5 km.
