1、昆明第一中学2018届高中新课标高三第一次摸底测试理科数学第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合集合 ，故选B.2. 如图，正方形内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 3. 已知（其中是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,，故选C.4. 设函数的图象关于直线对称，则的
2、值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】若，因为函数的图象关于直线对称，所以若，因为函数的图象关于直线对称，所以（与前提条件矛盾）所以故选择A小提示：涉及绝对值的问题，一般都是将每个绝对值的零点作为分界点，进行讨论。5. 二项式展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】展开式的通项为，令得，所以展开式中的常数项为，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（
3、2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6. 设数列的前项和为，若成等差数列，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为成等差数列，所以，当时，；当时，即，即，数列是首项，公比的等比数列，故选B.7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框中可填入（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算，选A.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图
4、研究的数学问题，是求和还是求项.8. 设为正数，且，当时，的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，则，由得，故选C. 9. 一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长等于的正方形，这个几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是棱长为的正方形的内部挖去一个底面为边长为的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为，故选D.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“
5、翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知函数（），且，当取最小值时，以下命题中假命题是（ ）A. 函数的图象关于直线对称B. 是函数的一个零点C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到D. 函数在上是增函数【答案】C【解析】 ，由得，即，由知的最小值是2，当取得最小值时，.由可得出：函数的图象关于直线对称，A为真；由可得出：是函数的一个零点，B为真；将函数的图象向左平移个单位得到的图象，所以C为假；由复合函数单调性可得在上是增函数，所以D为真，选C.【点睛】函数的性质(1).
6、(2)周期(3)由 求对称轴(4)由求增区间; 由求减区间11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知为的三等分，作于，如图，则，故选B.12. 已知数列的前项和为，且，则数列中的为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由有，解得，故，又，于是，因此数列是以为首项，公比为的等比数列，得，于是，因此数列是以为首项，为公差的等差数列，解得，故选B.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法， 已知数列前项和与第项关系，求
7、数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.，进而得出的通项公式.第卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，则_【答案】 【解析】由可得 ，即，故答案为.14. 若实数满足不等式组，则的最大值为_【答案】【解析】画出不等式组所表示的可行域，如图，由图知平移直线，当直线经过点时，直线在 轴上的截距最大，即在点处取得最大值，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线
8、性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 已知双曲线的中心为坐标原点，点是双曲线的一个焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，直线交轴于点，若，则双曲线的方程为_【答案】【解析】设双曲线的方程为:，由已知得：由点到直线的距离公式可得由及勾股定理可得 ，又因为 与渐近线垂直，结合可得 双曲线的方程：，故答案为.16. 体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径
9、为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是_【答案】三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，分别是角的对边，且，（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由余弦定理利用可得由，再由正弦定理可得，从而可得，再利用三角形内角和定理、诱导公式、及两角和的正弦公式可得的值；（2）由及可得出，利用（1）的结论以及三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）由得出：， 由及正弦定理可得出：，所以， 再由知，所以为锐角， 所以 （2）由及可得出，所以.18.
10、如图，在直三棱柱中，点分别为的中点. （1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接， ，点， 分别为， 的中点，可得为 的一条中位线，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用勾股定理证明，由题意以点 为坐标原点， 为轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果；试题解析：（1）证明：连接，点，分别为， 的中点，所以为的一条中位线，平面，平面， 所以平面. （2）设，则， ，由，得，解得，由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.可得，故， ， ，设为
11、平面的一个法向量，则，得，同理可得平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，所以，二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 某市为了解本市万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了名学生，将所得成绩整理后，绘
12、制出如图所示的频率分布直方图. （1）估算该校名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）求这名学生成绩在内的人数；（3）现从该校名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前名的人数记为，求的分布列和数学期望.参考数据：若，则，【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）直方图中每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该校名学生成绩的平均值；（2）求出直方图中最后两个矩形的面积之和与总人数相乘即可求出这名学生成绩在内的人数；（3） 的所有可能取值为 分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果.试题解析
13、：（1） （2）. （3），则.所以该市前名的学生听写考试成绩在分以上.上述名考生成绩中分以上的有人.随机变量.于是，.的分布列：数学期望. 20. 已知动点满足：.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）；（2）直线过定点 ，证明见解析.【解析】试题分析：（1）动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，从而可求动点的轨迹的方程；（2）直线的方程为：，由得，根据韦达定理可得，直线的方程为，即可证明其过定点.试题解析：（1）由已知，动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，
14、而，所以，所以，动点的轨迹的方程：. （2）设，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为：由得，所以， 直线的方程为：，所以，令，则，所以直线与轴交于定点.21. 已知函数，（其中，为自然对数的底数，）.（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由对任意的恒成立，即，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值，即可得到实数的值；（2）由（1）知，即，令（，）则，所以，令，求和后利用放缩法可得，从而可得的最小值.所以，.试题解析：（1）因为所以，由对任意的恒成立，即，由， （i）当
15、时，的单调递增区间为，所以时，所以不满足题意.(ii)当时，由，得时， ，时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最小值为 . 设，所以， 因为令得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，由得，则. （2）由（1）知，即，令（，）则，所以，所以，所以，又，所以的最小值为. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系中，为极点，半径为的圆的圆心坐标为.（1）求圆的极坐标方程；（2）设直角坐标系的原点与极点重合，轴非负关轴与极轴重合，直线的参数方程为（为参数），由直线上的点向圆引切线，求线线长的最小值.【答案
16、】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先确定圆心直角坐标，再写出圆的标准方程，最后将直角坐标方程化为极坐标方程（2）先根据加减消元法将直线的参数方程化为普通方程，再根据圆的几何意义得切线长最小时，直线上的点与圆心连线垂直直线，最后根据点到直线距离公式以及切线长公式求切线长最小值试题解析：解：（）设是圆上任意一点，如图，连接，并延长与圆交于点，当点异于，时，连接、，直角中，即，当点与，重合时，也满足上式，所求圆的极坐标方程为. （）直线的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故切线长的最小值为. 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式解集非空
17、，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得的最小值为，再解一元二次不等式得实数的取值范围.试题解析：解：（）由可化为：或或解得：或或，所以，不等式解集为. （）因为所以，即的最小值为，要不等式解集非空，需，从而，解得或，所以的取值范围为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向