1、课时分层作业(十一)定积分的简单应用(建议用时：40分钟) 一、选择题1用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()Af (x)dxBCf (x)dxf (x)dxDf (x)dxf (x)dxD在区间a，b上图形在x轴下方，积分为负值，Sf (x)dxf (x)dx.故选D.2如图所示，阴影部分的面积是()A2B2CDCS (3x22x)dx.3汽车以v(3t2) m/s做变速运动时，在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程是()A5 mB mC6 mD mD根据题意，汽车以v(3t2) m/s做变速运动时，汽车在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程s (3t2)dt m，故选D.4
2、以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v4010t2，则此物体达到最高时的高度为()A mB mC mD mAv0时物体达到最高，此时4010t20，则t2 s.又v040 m/s，t00 sh(4010t2)dt(m)5如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为()A0.5 JB1 JC50 JD100 JA由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)x，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为WF(x)dxxdxx250(Ncm)0.5(J)二、填空题6若两曲线yx2与ycx3(c0)围成图形的面积是，则c_.由得
3、由题意可知 (x2cx3)dx，即，解得c.7质点运动的速度是(18t3t2)m/s，质点在0,8时间段内所通过的路程为_152 m路程s(18t3t2)dt(3t218t)dt(9t2t3)(t39t2)962638398263962152(m)8如图所示，阴影部分是由曲线y，y2x与直线x2，y0围成，则其面积为_ln 2Sdxdxxln xln 2.三、解答题9已知函数f (x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与直线y0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值解由题图知方程f (x)0有三个实根，其中有两个相等的实根x1x20，于是b0，所以f
4、 (x)x2(xa)有 0(x3ax2)dx，所以a3.又a0a0，所以a3.10一点在直线上从时刻t0(s)开始以速度vt24t3(m/s)运动，求：(1)此点在t4 s时的位置；(2)此点在t4 s时运动的路程解因为位置决定于位移，所以它是v(t)在0,4上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在0,4上哪些时间段的位移为负(1)在t4 s时，该点的位移为(t24t3)dt(m)即在t4 s时该点在距出发点 m处(2)v(t)t24t3(t1)(t3)，在区间0,1及3,4上，v(t)0，在区间1,3上，v(t)0，该点在t4 s时的路程为S(t24t3)dt(t24t3)dt(
5、t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt4(m)1.已知二次函数yf (x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的图形的面积为()ABCDB由图可知f (x)x21.f (x)与x轴围成的图形的面积S(1x2)dx.2一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5B825ln C425ln 5D450ln 2C令v(t)0，得t4或t(舍去)，汽车行驶距离sdt7tt225ln(1t) 282425ln 5425ln 5.3抛物线yx24x3与其在点A(1,0
6、)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为_由y2x4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和2，则两切线方程分别为y2x2和y2x6.由得C(2,2)SSABC(x24x3)dx222.4如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B，C运动到D，其中AB50 m，BC40 m，CD30 m，变力F(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30角，在BC段运动时F与运动方向成45角，在CD段运动时F与运动方向相同，则物体由A运动到D所做的功为_(1.732，1.414，精确到1 J)1 723 J在AB段运动时F在运动方向上的分力F1Fcos 30，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2Fcos
7、45.由变力做功公式得：Wcos 30 dxcos 45dx600600 4506001 723(J)所以物体由A运动到D变力F所做的功为1 723 J5.已知S1为直线x0，y4t2及y4x2所围成图形的面积，S2为直线x2，y4t2及y4x2所围成图形的面积(t为常数)(1)若t，求S2；(2)若t(0,2)，求S1S2的最小值解(1)当t时，S2 2(4x2)dx(1)(2)当t(0,2)时，S1(4x2)(4t2)dxt3.S2(4t2)(4x2)dx2t2t3.所以SS1S2t32t2.S4t24t4t(t1)，令S0，得t0(舍去)或t1，当0t1时，S0，S单调递减，当1t2时，S0，S单调递增，所以当t1时，Smin2.