1、第4讲等差数列、等比数列与数列求和一、填空题1设an是公差不为0的等差数列，a12且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn_.解析 由题意设等差数列公差为d，则a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比数列，aa1a6，即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d，Snna1dn.答案 n2数列an的通项公式an，若前n项的和为10，则项数为_解析 an，Sn110，n120.答案 1203已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为_解析a55，S515，15，即a11.d1，ann.设数列的前n项和为Tn.T1001.答案4已
2、知数列an，bn都是等差数列，a15，b17，且a20b2060.则anbn的前20项的和为_解析由题意知anbn也为等差数列，所以anbn的前20项和为：S20720.答案7205已知等比数列an的前n项和Sn2n1，则aaa_.解析当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn12n1(2n11)2n1，又a11适合上式an2n1，a4n1.数列a是以a1为首项，以4为公比的等比数列aaa(4n1)答案(4n1)6定义运算：adbc，若数列an满足1且12(nN*)，则a3_，数列an的通项公式为an_.解析 由题意得a111,3an13an12即a12，an1an4.an是以2为首项，4为
3、公差的等差数列，an24(n1)4n2，a343210.答案 104n27在等比数列an中，a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_.解析q38，q2.an(2)n1，|an|2n2，|a1|a2|an|2n1.答案22n18已知Sn是等差数列an的前n项和，且S1135S6，则S17的值为_解析因S1135S6，得11a1d356a1d，即a18d7，所以S1717a1d17(a18d)177119.答案1199等差数列an的公差不为零，a47，a1，a2，a5成等比数列，数列Tn满足条件Tna2a4a8a2n，则Tn_.解析设an的公差为d0，由a1，a2，a5成等比数列，得aa1
4、a5，即(72d)2(73d)(7d)所以d2或d0(舍去)所以an7(n4)22n1.又a2n22n12n11，故Tn(221)(231)(241)(2n11) (22232n1)n2n2n4.答案2n2n410数列an的通项公式an，如果bn，那么bn的前n项和为_解析 bn，所以b1b2bn1.答案 1二、解答题11已知an为等差数列，且a36，a60.(1)求an的通项公式；(2)若等比数列bn满足b18，b2a1a2a3，求bn的前n项和公式解(1)设等差数列an的公差为d.因为a36，a60，所以解得a110，d2.所以an10(n1)22n12.(2)设等比数列bn的公比为q.因
5、为b2a1a2a324，b18，所以8q24，即q3.所以bn的前n项和公式为Sn4(13n)12已知首项不为零的数列an的前n项和为Sn，若对任意的r，tN*，都有2.(1)判断an是否是等差数列，并证明你的结论；(2)若a11，b11，数列bn的第n项是数列an的第bn1项(n2)，求bn；(3)求和Tna1b1a2b2anbn.解(1)an是等差数列证明如下：因为a1S10，令t1，rn，则由2，得n2，即Sna1n2，所以当n2时，anSnSn1(2n1)a1，且n1时此式也成立，所以an1an2a1(nN*)，即an是以a1为首项，2a1为公差的等差数列(2)当a11时，由(1)知a
6、na1(2n1)2n1，依题意，当n2时，bnabn12bn11，所以bn12(bn11)，又b112，所以bn1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以bn122n1，即bn2n1.(3)因为anbn(2n1)(2n1)(2n1)2n(2n1)Tn12322(2n1)2n13(2n1)，即Tn12322(2n1)2nn2，2Tn122323(2n1)2n12n2，得Tn(2n3)2n1n26.13已知数列an是首项为a1，公比q的等比数列，设bn23logan(nN*)，数列cn满足cnanbn.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列cn的前n项和Sn.解(1)由题意，知ann(nN*)，又
7、bn3logan2，故bn3n2(nN*)(2)由(1)，知ann，bn3n2(nN*)，cn(3n2)n(nN*)Sn14273(3n5)n1(3n2)n，于是Sn124374(3n5)n(3n2)n1，两式相减，得Sn3(3n2)n1(3n2)n1，Snn(nN*)14 记公差d0的等差数列an的前n项和为Sn，已知a12，S3123.(1)求数列an的通项公式an及前n项和Sn.(2)已知等比数列bnk，bnan，n11，n23，求nk.(3)问数列an中是否存在互不相同的三项构成等比数列，说明理由解 (1)因为a12，S33a13d123，所以d2.所以ana1(n1)d2n，Snn2(1)n.(2)因为bnan2n，所以bnk2nk.又因为数列bnk的首项bn1b12，公比q3，所以bnk23k1.所以2nk23k1，则nk3k1.(3)假设存在三项ar，as，at成等比数列，则aarat，来源:学。科。网即有(2s)2(2r)(2t)，整理得(rts2)2srt.若rts20，则，因为r，s，tN*，所以是有理数，这与为无理数矛盾；若rts20，则2srt0，从而可得rst，这与rst矛盾综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at.