1、天津南开区2013届高三模拟考数学（文科）试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合，集合，集合，则为A. B. C. D. 2. 不等式的解集是A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，则函数的大致图象为4. 函数的零点所在区间为A. B. C. D. 5. 等差数列的公差，且，则该数列的前项和取得最大值时，A. 6B. 7C. 6或7D. 7或8 6. 已知正整数满足，使得取最
2、小值时，则实数对是A. （5，10）B. （6，6）C. （10，5）D. （7，2） 7. 设等比数列的前项和为，若，则A. 2：3B. 3：4C. 1：2D. 1：3 8. 如果，那么下列不等式中正确的是A. B. C. D. 第II卷（非选择题共110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 函数定义域为R，则的取值范围是_。 10. 若函数满足，且时，则函数的图象与函数图象的交点个数为_。 11. 幂函数的图象经过点，则满足的的值是_。 12. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，
3、其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，对A、B都不赞成的学生有_。 13. 已知数列满足，则的最小值为_ 14. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：函数的定义域为R，值域为；函数的图关于直线对称；函数是周期函数，最小正周期为1；函数在上是增函数。其中正确的命题的序号是_。三、解答题：（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. ，若，求、。 16. 已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）。（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；（2）若
4、的最大值为正数，求的取值范围。 17. 已知，函数，。（I）当时，求函数在点（1，）的切线方程；（II）求函数在的极值；（III）若在区间上至少存在一个实数，使成立，求正实数的取值范围。 18. 数列的前项和为，数列满足（1）求（2），求（3）求证：。 19. 设函数，（是实数，是自然对数的底）。（I）若直线与函数的图象相切于点（1，0），并且与函数的图象也相切，求的值；（II）若函数在它的定义域内是单调函数，求的取值范围。 20. 数列满足，（）。（1）设，求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求出并由此证明：。参考答案：一、选择题：ADCCCABA二、填空题：（0，）48三、解答题
5、15. 解：，由已知： 16. 解：（1）的解集为（1，3），且，因而由方程得因为方程有两个相等的根，所以即，解得或。由于，舍去将代入得的解析式为（2）由又0，可得的最大值为由解得或故当的最大值为正数时，实数的取值范围是 17. 解：由求导得，（I）当时，所以在点（1，）的切线方程是（II）令得：（1）当即时（-1，0）0+0-0+极大值极小值故的极大值是；极小值是；（2）当1即时在（-1，0）上递增，在（0，1）上递减，所以的极大值为，无极小值。（III）设对求导，得，因为，所以，在区间上为增函数，则。依题意，只需，即，即，解得（舍去）。所以正实数的取值范围是。 18. 解：（1）因为，所以，所以为等差数列，因为：，所以所以由可得所以：，由于，所以（2），（为奇数时，；为偶数时）（3） 19. 解：（I）由，则，直线的方程为：由，得，即0，i）当时，方程无解；ii）当时，由，得，综上可得，。（II），i）若函数在它的定义域内是单调递增函数，由，对，即，而函数在的值域为，所以，。ii）若函数在它的定义域内是单调递减函数，由，对，即，而函数在的值域为，所以。综上可得，若函数在它的定义域内是单调函数，的取值范围是。 20. 解：（I）由已知可得，即，即即，累加得又，（II）由（I）知，易知递减，即。