1、4数列、不等式1已知前n项和Sna1a2a3an，则an.由Sn求an时，易忽略n1的情况问题1已知数列an的前n项和Snn21，则an_.2等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数)或an1ananan1(n2)(2)等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d.(3)等差数列的前n项和：Sn，Snna1d.(4)等差数列的性质当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Snna1dn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.若公差d0，则为递增等差数列；若公差dB.(5)等比数列的
2、性质当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有amana.问题3(1)在等比数列an中，a3a8124，a4a7512，公比q是整数，则a10_.(2)各项均为正数的等比数列an中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10_.4数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法；如：；.(6)并项法数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法问题4数列an满足anan1(nN，n1)，若a21，Sn是an的前n项和，则S21的值为_5在求不等式的解集时，其结果一定要用集
3、合或区间表示，不能直接用不等式表示问题5不等式3x25x20的解集为_6不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行问题6已知a，b，c，d为正实数，且cd，则“ab”是“acbd”的_条件7基本不等式： (a，b0)(1)推广：(a，b0)(2)用法：已知x，y都是正数，则若积xy是定值p，则当xy时，和xy有最小值2；若和xy是定值s，则当xy时，积xy有最大值s2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件问题7已知a0，b0，ab1，则y的最小值是_8解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函
4、数中y的系数的正负；注意最优整数解问题8设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是_易错点1an与Sn关系不清例1已知数列an的前n项和为Snn2n1，则数列an的通项公式为_错因分析没有注意到anSnSn1成立的条件：n2，忽视对n的分类讨论解析当n1时，a1S13；当n2时，ann2n1(n1)2(n1)12n，an答案an易错点2忽视等比数列中q的范围例2设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列an的公比q_.错因分析没有考虑等比数列求和公式Sn中q1的条件，本题中q1恰好符合题目条件解析当q1时，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立当q
5、1时，由S3S6S9，得.q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案1或1易错点3数列最值问题忽略n的限制例3已知数列an的通项公式为an(n2)()n(nN*)，则数列an的最大项是()A第6项或第7项B第7项或第8项C第8项或第9项D第7项错因分析求解数列an的前n项和Sn的最值，无论是利用Sn还是利用an来求，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误解析因为an1an(n3)()n1(n2)()n()n，当n7时，an1an0，即an1an；当n7时，an1an
6、0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an.故a1a2a7a8a9a10，所以此数列的最大项是第7项或第8项，故选B.答案B易错点4裂项法求和搞错剩余项例4在数列an中，an，又bn，则数列bn的前n项和为()A.B.C.D.错因分析裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误：一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的解析由已知得an(12n)，从而bn4()，所以数列bn的前n项和为Sn4(1)()() ()4(1).故选D.答案D易错点5解不等式时变形不同解例5解不等式2.错因分析本题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为3x52(x22x3
7、)求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解解原不等式可化为20，即0.整理得0，不等式等价于解得3x1或x1.所以原不等式的解集为x|3x1或x1易错点6忽视基本不等式中等号成立条件例6函数yx(x1)的值域是_错因分析本题易出现的错误有两个方面：一是不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之积为定值；二是利用基本不等式求最值时，忽视式子的取值范围，直接套用基本不等式求最值如本题易出现：由yxx11213，得出y3，)这一错误结果解析当x1时，yxx11213，当且仅当x1，即x2时等号成立；当x1时，yx1x1211，即y1，当且仅当1x，即x0时等号成立所以原
8、函数的值域为(，13，)答案(，13，)1(2015重庆)在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A1B0C1D62(2015武汉适应性训练)已知正项等差数列an的前20项和为100，那么a6a15的最大值是()A25B50C100D不存在3已知数列an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，其中a13，b11，a2b2,3a5b3，若存在常数u，v对任意正整数n都有an3logubnv，则uv等于()A3B6C9D124(2015江南十校联考(二)已知数列an的通项公式为anlog3(nN*)，设其前n项和为Sn，则使Sn4成立的最小自然数n为()A83B82C81D805(201
9、5湖南)若变量x，y满足约束条件则z3xy的最小值为()A7B1C1D26把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，则第50个括号内各数之和为()A195B197C392D3967(2015福建六校联考)设x，yR，且xy0，则(x2)(4y2)的最小值为_8已知函数f(x)(a0，a1)数列an满足anf(n)(nN*)，且an是单调递增数列，则实数a的取值范围是_9(2015忻州联考)不等式组表示的平面区域为，直线ykx1与区域有公共点
10、，则实数k的取值范围为_10已知函数f(x)(a，b为常数)且方程f(x)x120有两实根x13，x24.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k1，解关于x的不等式f(x).11等比数列an的公比q1，第17项的平方等于第24项，求使a1a2an成立的正整数n的取值范围学生用书答案精析4数列、不等式要点回扣问题1问题2A问题3(1)512(2)10问题4问题5问题6充分不必要问题79问题8查缺补漏1B由等差数列的性质，得a62a4a22240，选B.2A由题意知S20201005，故a6a15a1a2010，又an为正项数列，所以，a60，a150，所以a6a15()225.3B设等差数列a
11、n的公差为d，等比数列bn的公比为q，则解得d6，q9，所以an6n3，bn9n1,6n33nlogu9v3logu9对任意正整数n恒成立，所以解得uv3，故uv6.4Canlog3log3nlog3(n1)，Snlog31log32log32log33log3nlog3(n1)log3(n1)4，解得n34180.故最小自然数n的值为81.5A不等式组表示的平面区域如图，平移直线y3xz，过M(2,1)时，zmin3(2)17.故选A.6C将三个括号作为一组，则由501632，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个
12、数为数列2n1的第16696项，第50个括号的第一个数应为数列2n1的第98项，即为2981195，第二个数为2991197，故第50个括号内各数之和为195197392.故选C.79解析(x2)(4y2)144x2y21429，当且仅当4x2y2即|xy|时等号成立8(4,8)解析an是单调递增数列，4a2时，解集为x1,2)k，)11解由题意，得(a1q16)2a1q23，所以a1q91.又因为数列是以为首项，以为公比的等比数列，要使不等式成立，则需，把aq18代入上式并整理，得q18(qn1)q(1)，即q18(qn1)q，所以qnq19.因为q1，所以n19.故所求正整数n的取值范围是n20，nN*.