1、第七章 机械能守恒定律习题课 动能定理的应用1计算总功的两种方法(1)W 总W1W2Wn(2)W 总F 合lcos 2动能定理表达式W 总Ek2Ek112mv2212mv21 应用动能定理求解变力做功问题 如图所示，质量为 m 的小球用长为 L 的轻质细线悬于 O 点，与 O 点处于同一水平线上的P 点处有一个光滑的细钉，已知 OPL2，在 A 点给小球一个水平向左的初速度 v0，发现小球恰能到达跟 P 点在同一竖直线上的最高点 B(1)小球到达 B 点时的速率为多大？(2)若不计空气阻力，则初速度 v0 为多大？(3)若初速度 v03 gL，则在小球从 A 到 B 的过程中克服空气阻力做了多
2、少功？思路点拨 小球恰能到达跟 P 点在同一竖直线上的最高点 B 的临界条件是在 B 点重力提供做圆周运动的向心力；由 A 到 B 的过程，不计空气阻力仅重力做功，由动能定理求出初速度 v0；空气阻力是变力，可应用动能定理求解解析(1)小球恰能到达最高点 B，有mgmv2BL2，得 vBgL2.(2)从 A 到 B 由动能定理得mgLL2 12mv2B12mv20可求出 v07gL2.(3)当 v03 gL时，在小球从 A 到 B 的过程中由动能定理得mgLL2 Wf12mv2B12mv20可求出 Wf114 mgL.答案(1)gL2 (2)7gL2 (3)114 mgL【通关练习】1一质量为
3、 m 的小球，用长为 l 的轻绳悬挂于 O点，小球在水平力 F 的作用下从平衡位置 P 点缓慢地移动到 Q 点，如图所示则力 F 所做的功为()Amglcos BFlsin Cmgl(1cos)DFl(1sin)解析：选 C.小球的运动过程是缓慢的，因而小球在任何时刻均可看成是平衡状态，因此力 F 的大小在不断变化，F 做功是变力做功小球上升过程只有重力 mg 和 F 这两个力做功，由动能定理得mg(llcos)WF0，所以 WFmgl(1cos)2如图所示，斜槽轨道下端与一个半径为04 m 的圆形轨道相连接一个质量为 01 kg的物体从高为 H2 m 的 A 点由静止开始滑下，运动到圆形轨道
4、的最高点 C 处时，对轨道的压力等于物体的重力求物体从 A 运动到 C 的过程中克服摩擦力所做的功(g 取 10 m/s2)解析：物体运动到 C 点时受到重力和轨道对它的压力，由圆周运动知识可知 FNmgmv2Cr，又 FNmg，联立两式解得 vC 2gr 8 m/s，在物体从 A 点运动到 C 点的过程中，由动能定理有mg(H2r)WFf12mv2C0，代入数据解得 WFf0.8 J.答案：0.8 J利用动能定理求变力的功是最常用的方法，具体做法如下：(1)如果在研究的过程中，只有所要求的变力做功，则这个变力做的功就等于物体动能的增量，即 W Ek(2)如果物体同时受到几个力的作用，但是其中
5、只有一个力 F 是变力，其他力都是恒力，则可以先用恒力做功的公式求出几个恒力所做的功，然后再用动能定理来间接求变力做的功：WFW其他 Ek 应用动能定理分析多过程问题 如图所示，ABCD 为一竖直平面内的轨道，其中 BC 水平，A 点比 BC 高出 10 m，BC 长 1 m，AB 和 CD 轨道光滑一质量为 1 kg 的物体，从 A 点以 4 m/s 的速度开始运动，经过 BC 后滑到高出 C 点 103 m 的 D 点速度为 0求：(g 取 10 m/s2)(1)物体与 BC 轨道间的动摩擦因数；(2)物体第 5 次经过 B 点时的速度；(3)物体最后停止的位置(距 B 点多少米)解析(1
6、)由动能定理得mg(hH)mgsBC012mv21，解得 0.5.(2)物体第 5 次经过 B 点时，物体在 BC 上滑动了 4 次，由动能定理得 mgHmg4sBC12mv2212mv21，解得 v24 11 m/s13.3 m/s.(3)分析整个过程，由动能定理得mgHmgs012mv21，解得 s21.6 m.所以物体在轨道上来回运动了 10 次后，还有 1.6 m，故距 B 点的距离为 2 m1.6 m0.4 m.答案(1)0.5(2)13.3 m/s(3)距 B 点 0.4 m【通关练习】1(多选)如图所示，一质量 m075 kg 的小球在距地面高 h10 m 处由静止释放，落到地面
7、后反弹，碰撞时无能量损失若小球运动过程中受到的空气阻力 f 的大小恒为 25 N，g10 m/s2下列说法正确的是()A小球与地面第一次碰撞后向上运动的最大高度为 5 mB小球与地面第一次碰撞后向上运动的最大高度为 33 mC小球在空中运动的总路程为 30 mD小球在空中运动的总路程为 2875 m解析：选 AC.设小球与地面第一次碰撞后向上运动的高度为 h2，从静止释放到第一次碰撞后运动到高度 h2 的过程中，由动能定理有 mg(hh2)f(hh2)0，解得：h2mgfmgfh5 m，选项 A 正确；对小球运动的全过程，由动能定理可得，mghfs 总0，解得 s 总mghf 30 m，选项
8、C 正确2如图所示，AB 与 CD 为两个对称斜面，其上部足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为 120，半径R 为 20 m，一个物体在离弧底 E 高度为 h30 m 处，以初速度 40 m/s 沿斜面运动若物体与两斜面的动摩擦因数为 002，则物体在两斜面上(不包括圆弧部分)一共能走多长路程？(g 取 10 m/s2)解析：设物体在斜面上运动的总路程为 s，则摩擦力做的总功为mgscos 60，末状态选为 B(或 C)，此时物体速度为零，对全过程由动能定理得mghR(1cos 60)mgscos 60012mv20物体在斜面上通过的总路程为：s2g（hR2）v20g21
9、0（3.01.0）4.020.0210m280 m.答案：见解析对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理(1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解(2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力的做功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便 应用动能定理求解曲线运动问题 如图，在竖直平面内，滑道 ABC 关于B 点对称，且 A、
10、B、C 三点在同一水平线上若小滑块第一次由 A 滑到 C，所用的时间为 t1，第二次由 C 滑到 A，所用的时间为 t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则()At1t2D无法比较 t1、t2 的大小解析 在滑道 AB 段上取任意一点 E，比较从 A 点到 E 点的速度 v1 和从 C 点到 E 点的速度 v2，易知 v1v2.因 E 点处于“凸”形轨道上，速度越大，轨道对小滑块的支持力越小，因动摩擦因数恒定，则摩擦力越小，可知由 A 滑到 C 比由 C 滑到 A 在 AB段上的摩擦力小，因摩擦造成的动能损失也小同理，在滑道BC 段的“凹”形
11、轨道上，小滑块速度越小，其所受支持力越小，摩擦力也越小，因摩擦造成的动能损失也越小，从 C 处开始滑动时，小滑块损失的动能更大故综上所述，从 A 滑到 C 比从 C滑到 A 在轨道上因摩擦造成的动能损失要小，整个过程中从 A 滑到 C 平均速度要更大一些，故 t1t2.选项 A 正确答案 A 如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于 O 点，下端系一质量 m10 kg 的小球现将小球拉到 A 点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过 B 点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的 C 点地面上的 D 点与OB 在同一竖直线上，已知绳长 L10 m，B点离地高度 H10 m，A、B 两点的高度差 h05
12、m，重力加速度 g 取 10 m/s2，不计空气阻力影响，求：(1)地面上 DC 两点间的距离 s；(2)轻绳所受的最大拉力大小解析：(1)小球从 A 到 B 过程mgh12mv2B小球从 B 到 C 做平抛运动，在竖直方向上H12gt2在水平方向上有svBt由式解得 s1.41 m(2)小球下摆到达 B 点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有Fmgmv2BL由式解得 F20 N根据牛顿第三定律 FF故轻绳所受的最大拉力为 20 N.答案：(1)1.41 m(2)20 N动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，
13、如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能过最高点的临界条件为 vmin0没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能过最高点的临界条件为 vmin gR 应用动能定理求解连接体问题 如图所示，一辆汽车通过一根绳PQ 跨过定滑轮提升井中质量为 m 的物体，绳的 P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上，设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、绳与滑轮间的摩擦都忽略不计开始时，车在 A 处，滑轮左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为 H提升时车水平向左加速运动，沿水平方向从 A 经过
14、B 驶向 C，设 A 到 B 的距离也为 H，车经过 B 点时的速度为 vB，求车由 A 运动到 B 的过程中，绳对物体所做的功思路点拨 通过分析车速，求出与车相关联的物体的速度是求解本题的关键解析 绳的 Q 端对物体的拉力情况未知，无法用功的定义去求拉力对物体所做的功，所以只能用动能定理去求由于与车相连的绳的方向是变化的，所以将车在 B 点的速度 vB 分解，如图所示，车到 B 点时，物体上升的速度等于 vB 沿绳方向的分速度 v1vBcos 45 22 vB.车由 A 到 B 过程中绳被拉过的距离为2HH(21)H，所以物体上升高度 h(21)H，此过程中重力做功 W1mgh(21)mgH
15、，由动能定理得 WW112mv21，所以绳的拉力做功 W12mv21W112mv21(21)mgH12m22 vB2(21)mgH14mv2B(21)mgH.答案 见解析【通关练习】1如图所示，质量为 m 的物体置于光滑水平面上，绳子的一端固定在物体上，另一端通过定滑轮以恒定的速率 v0 拉动绳头物体由静止开始运动，当绳子与水平方向成 60夹角时，绳中的拉力对物体做了多少功？解析：绳子中的拉力是变力，要计算这个力做的功，只能利用动能定理，其中物体的末速度可以由速度的分解求得绳子与水平面成 60夹角时，物体的速度为 v，如图所示，由速度分解得 v v0cos v0cos 602v0因为物体开始是
16、静止状态，所以根据动能定理可以计算出绳子的拉力做的功为 W12mv202mv20.答案：2mv202如图甲所示，物块与质量为 m 的小球通过不可伸长的轻质细绳跨过两等高定滑轮连接物块置于左侧滑轮正下方的表面水平的压力传感装置上，小球与右侧滑轮的距离为 l开始时物块和小球均静止，将此时传感装置的示数记为初始值现给小球施加一始终垂直于 l 段细绳的力，将小球缓慢拉起至细绳与竖直方向成 60角，如图乙所示，此时传感装置的示数为初始值的 125倍；再将小球由静止释放，当运动至最低位置时，传感装置的示数为初始值的 06 倍不计滑轮的大小和摩擦，重力加速度的大小为 g求：甲 乙(1)物块的质量；(2)从释
17、放到运动至最低位置的过程中，小球克服空气阻力所做的功解析：(1)设开始时细绳的拉力大小为 T1，传感装置的初始值为F1，物块质量为 M，由平衡条件得对小球，T1mg对物块，F1T1Mg当细绳与竖直方向的夹角为 60时，设细绳的拉力大小为 T2，传感装置的示数为 F2，据题意可知，F21.25F1由平衡条件得对小球，T2mgcos 60对物块，F2T2Mg联立式，代入数据解得 M3m.(2)设小球运动至最低位置时速度的大小为 v，从释放到运动至最低位置的过程中，小球克服阻力所做的功为 Wf，由动能定理得mgl(1cos 60)Wf12mv2在最低位置，设细绳的拉力大小为 T3，传感装置的示数为
18、F3，据题意可知 F30.6F1，对小球，由牛顿第二定律得 T3mgmv2l对物块，由平衡条件得F3T3Mg联立式，代入数据解得 Wf0.1mgl.答案：(1)3m(2)0.1mgl动能定理在两个(或多个)相互关联的物体系统中的应用(1)动能定理的表达式 WEk2Ek1 是以一个物体为研究对象的，式中 W 为所有外力(包括重力、弹力、摩擦力等)所做的功(2)动能定理可推广到由几个物体构成的物体系，但定理的形式应做相应的变动因为对一个物体系来说，在状态变化的过程中，不仅有外力做功，还可以有内力做功，内力做功也会改变系统的总动能(3)若以 W 外、W 内分别表示外力和内力对系统所做的功，则有W 外W 内Ek2Ek1对于由相互作用的若干质点组成的系统，动能的增加量在数值上等于一切外力所做的功与一切内力所做的功的代数和，称为系统动能定理本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放