1、北京市石景山区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 已知集合A=1,2,3,4，B=2,4,6,8，则AB中元素的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题意可得，故中元素的个数为2，所以选B.【名师点睛】集合基本运算的关注点：(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标
2、系和Venn图2. 当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据时指数函数与对数函数均为定义域内的增函数即可得答案.【详解】解：因为，函数为指数函数，为对数函数，故指数函数与对数函数均为定义域内的增函数，故选：B.3. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】“a1”“”，“”“a1或a0”，由此能求出结果【详解】aR，则“a1”“”，“”“a1或a0”，“a1”是“”的充分非必要条件故选A【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”
3、、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件4. 下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性及复合函数单调性求解.【详解】当时，在上单调递减，所以在区间上为增函数；由指数函数单调性知在区间上单调递增；由在区间上为增函数， 为增函数，可知在区间上为增函数；知在区间上为减函数.故选：D5. 若ab0，cdB. D. b0，利用不等式的性质可得，得到结果，也可
4、以利用特值法代入得到结果.【详解】方法1：cdd0，又ab0，.故选：D.方法2：令a3，b2，c3，d2.则1，1，排除选项A，B.又，排除选项C故选：D.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，属于基础题目.6. 已知函数为奇函数，且当x 0时，x2，则等于（ ）A. 2B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】首先根据解析式求的值，结合奇函数有即可求得【详解】x 0时，x2112又奇函数故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性，结合解析式及函数的奇偶性，求目标函数值7. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解
5、析】【分析】【详解】因为，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.8. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性,利用中间值比较法对三个数进行比较即可.【详解】由函数的单调性,可知.由函数的单调性,可知,由函数的单调性可知,所以.故选：B【点睛】方法点睛：指对数比较大小，常用的方法是：中间值分析法（与比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.9. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的
6、速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间(分)的函数关系表示的图象只可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下相同的体积，当时间取分钟时，液面下降的高度与漏斗高度的比较.【详解】由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取分钟时，液面下降的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果.故选：A【点睛】本题主要考查了函数图象的判断，常利用特殊值和函数的性质判断，属于中档题.10. 袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色现从袋中随机抽取3个小球，设每个小球被抽到的机
7、会均相等，则抽到白球或黑球的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先求对立事件的概率：黑白都没有的概率，再用1减得结果.详解：从袋中球随机摸个，有，黑白都没有只有种，则抽到白或黑概率为选点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分 11. 命题“存在xR，
8、使得x2+2x+5=0”的否定是 【答案】对任何xR，都有x2+2x+50【解析】【分析】【详解】因为命题“存在xR，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何xR，都有x2+2x+50故答案为对任何xR，都有x2+2x+5012. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式，列出不等式组求解即可.【详解】因为函数，所以解得，所以函数定义域，故答案为：13. 某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日销售量不低于50件的概率为_【答案】0.55【解析】【分析】用减去销量为的概率，求得日销
9、售量不低于50件的概率.【详解】用频率估计概率知日销售量不低于50件的概率为1（0.0150.03）100.55.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算事件概率，属于基础题.14. 设则_.【答案】【解析】【分析】先求，再求的值.【详解】由分段函数可知，.故答案为：【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.15. 设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数： ； ；具有性质的函数的个数为_【答案】【解析】【分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，使得【详解】因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；假设存在不相等，
10、使得，即，得，矛盾，故不存在；函数为偶函数，令，则，存在故答案为：【点睛】关键点点睛：证明存在性命题，只需找到满足条件的特殊值即可，反之需要证明不存在，一般考虑反证法，先假设存在，推出矛盾即可，属于中档题.三、解答题：本大题共5个小题，共40分应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 已知集合，或，（）求；（）求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据交集直接能算；（2）根据补集、并集运算求解.【详解】（1）因为，或，所以（2）由或，知，所以.17. 某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：（1）求甲在比赛中得分的均值和方差；（2）从甲比赛得分在分以下的场比赛中随
11、机抽取场进行失误分析，求抽到场都不超过均值的概率【答案】(1)15，32.25（2）【解析】【分析】（1）由已知中茎叶图，代入平均数和方差公式，可得得答案；（2）根据古典概型计算即可求解.【详解】（1）这8场比赛队员甲得分为：7，8，10，15，17，19，21，23故平均数为：，方差:.(2) 从甲比赛得分在分以下的场比赛中随机抽取场,共有15中种不同的取法，其中抽到场都不超过均值的为得分共3种，由古典概型概率公式得.18. 对于四个正数，如果，那么称是的“下位序对”（1）对于，试求的“下位序对”；（2）设均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系.【答案】（1）（2）【解析】【分析
12、】(1) 根据新定义，代入计算判断即可；(2）根据新定义得到ad bc，再利用不等式的性质，即可判断.【详解】（1），的“下位序对”是.（2）是的“下位序对”,均为正数,即，同理可得，综上所述，【点睛】关键点点睛：对于本题关键理解，如果，那么称是的“下位序对”这一新定义，理解此定义后，利用不等式性质求解即可.19. 已知函数（1）求函数的定义域及的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断在上的单调性，并给予证明【答案】（1）(2)偶函数（3）在上是减函数,证明见解析.【解析】【分析】(1)根据对数函数成立的条件即可求函数f (x）的定义域及的值；(2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性;(
13、 3）利用函数单调性的定义进行判断和证明.【详解】（1）因为，所以，解得，所以函数的定义域为.（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称，且，所以函数是偶函数.（3）在上是减函数.设，且，则，因，所以，所以，即，所以在上是减函数.【点睛】方法点睛：利用定义法证明函数的单调性，第一步设且，第二步做差，变形，判断差的符号，第三步根据差的符号作出结论.20. 某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）.每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；（2）年产
14、量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）；（2）年产量为件时，利润最大为万元.【解析】试题分析：（1）实际应用题首先要根据题意，建立数学模型，即建立函数关系式，这里，要用分类讨论的思想，建立分段函数表达式；（2）根据建立的函数关系解模，即运用数学知识求函数的最值，这里第一段，运用的是二次函数求最值，而第二段，则可运用基本不等式求最值，然后再作比较，确定最终的结果，最后要回到实际问题作答.试题解析：解：（1）当时，；当时，所以.（2）当时，此时，当时，取得最大值万元.当时， 此时，当时，即时，取得最大值万元，所以年产量为件时，利润最大为万元.考点：函数、不等式的实际应用.