1、1.7定积分的简单应用学 习 目 标核 心 素 养1.会用定积分求平面图形的面积(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功(重点、难点)通过利用定积分求解曲边梯形的面积、变速直线运动的路程和变力做功的学习，培养学生的数学建模及直观想象、数学运算的核心素养.1定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f (x)在a，b上是连续函数，由直线y0，xa，xb与曲线yf (x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f (x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f (x)0Sf (x)dxf (x)0Sf (x)dx(2)一般地，如图所示，如果在公共的积分区间a，b上有f (x)g(x)，那么直线xa，
2、xb与曲线yf (x)，yg(x)围成的平面图形的面积为Sf (x)g(x)dx.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分2变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？提示不同路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念3变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(a0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则k_.(2)求由曲线y，y2x，yx所围成的图形的面积(1)2由解得 或故
3、阴影部分的面积为(kxx2)dx k3k3k3，解得k2.(2)解画出图形，如图所示解方程组及得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以Sdxdxdxdx692.1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图所示，已知点A，点P(x0，y0)(x00)在曲线yx2上，若阴影部分的面积与OAP的面积相等”，则x0_.解由题意知x0 x2dx，即x0x，解得x0或x0或x00.x00，x0.2(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线yx2在点P(2,4)处的切线与曲线及x轴所围成的图形面积为S”，求S.解y|x24，故曲线在P点处的切线方程为y44(x2)，即y4x4，故所求面积Sx2dx
4、(x24x4)dxx3.3(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y2x，y2x所围成的图形的面积”解由得或阴影部分的面积S(2yy2)dy.求曲边梯形面积的一般步骤求变速直线运动的路程【例2】有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求：(1)P从原点出发，当t6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值解(1)由v(t)8t2t20得0t4，即当0t4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动故t6时，点P移动的路程s1(8t2t2)dt(8t2t2)dt.当t6时，点P的位移为(
5、8t2t2)dt0.(2)依题意(8t2t2)dt0，即4t2t30，解得t0或t6，t0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t6是从原点出发，又返回原点所用的时间做变速直线运动的物体，从时刻ta到时刻tb(ab)所经过的路程s和位移s情况如下：(1)若v(t)0，则sv(t)dt；sv(t)dt.即ss.(2)若v(t)0，则sv(t)dt；sv(t)dt.即ss.(3)若在区间a，c上，v(t)0，在区间c，b上v(t)0，则sv(t)dtv(t)dt，sv(t)dt.所以求路程时要事先求得速度的正负区间跟进训练1有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车设汽车以
6、2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？解设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v036 km/h10 m/s，v(t)v0at102t.令v(t)0，解得t5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s(102t)dt(10tt2)25(m)故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.求变力做功【例3】设有一个长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功解设x表示弹簧伸长的长度，f (x)表示加在弹簧上的力，则f (x)kx(其中常数k为比例系数)因为当f (x)100时，x5，所以k20.所以f (x)2
7、0x.弹簧由25 cm伸长到40 cm时，弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm，故所做的功W 20xdx10x22 250(Ncm)22.5(J) 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式WF(x)dx计算(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳跟进训练2一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为()A10 JB12 JC14 JD16 JBW2dx(2x2)dx2x(x22x)4(16844)12(J)1对于简单图形的面积求解，我们
8、可直接运用定积分的几何意义，此时：(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的2已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消3利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之
9、间的函数关系，确定好积分区间求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.1在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有()Sf (x)g(x)dxS(22x8)dxABCDD错误，Sf (x)g(x)dx；错误，S2dx(22x8)dx；正确2曲线ycos x与坐标轴所围图形的面积是()A2B3 CD4BS cos xdx cos xdxsin xsin xsin sin 0sin sin 10113.3.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)270.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车()A405B540C810D945A停车时v(t)0，由270.9t0，得t30，sv(t)dt (270.9t)dt(27t0.45t2)405.4设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.由已知得Sdxxaa2，所以a，所以a.5一物体在变力F(x)(N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x8 m处运动到x18 m处，求力F(x)在这一过程中所做的功解由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在8,18上的定积分，从而WF(x)dx36x1(36181)(3681)(2)(J)从而可得力F(x)在这一过程中所做的功为 J.