1、31不等关系与不等式 学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题知识链接下面关于不等式的几个命题正确的有_(1)若ab，则acbc；(2)若ab，则acbc；(3)a与b的和是非负数可表示为ab0；(4)某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4 m”可表示为0h4；(5)设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则有0d|AB|；(6)任意实数a，b之间的大小关系可表示为ab或ab.答案(1)(4)(5)(6)解析对于(2)，当c0时，不成立；对于(3)，应表示为ab0；其余命题正确预习导引1
2、比较实数a，b大小的文字叙述(1)如果ab是正数，那么ab；(2)如果ab等于0，那么ab；(3)如果ab是负数，那么ab；(2)ab0ab；(3)ab0abbb，bcac(传递性)；(3)abacbc(可加性)；(4)ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd；(6)ab0，cd0acbd；(7)ab0，nN，n1anbn；(8)ab0，nN，n2.要点一用不等式(组)表示不等关系例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解设杂志
3、社的定价为x元，则销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x20.规律方法数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系. 思维要严密、规范跟踪演练1如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地仓库的长L大于宽W的4倍写出L与W的关系解由题意，得要点二实数大小的比较例2(1)已知x1，比较x31与2x22x的大小(2)设x，y，zR，比较5x2y2z2与2xy4x2z2的大小
4、解(1)x31(2x22x)x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)(x1)，x1，x10，(x1)0，x310，ab0，a3b3a2bab2.要点三不等式性质的应用例3已知a、b、c为实数，判断以下各命题的真假：(1)若ac2bc2，则ab；(2)若ababb2；(3)若ab，则a0，bbc2知c0，c20，ab，故该命题为真命题(2)a2ab；又abb2，a2abb2，故该命题为真命题(3)由已知条件知abab0，又00，ab0，ba0，abb，a0，b0，故该命题为真命题规律方法判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意条件和结论之间的联系
5、利用不等式的性质进行不等式的证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题时要灵活、准确地加以应用跟踪演练3判断下列各命题是否正确，并说明理由：(1)若0，则ab；(2)若ab0且cd0，则 ；(3)若ab，ab0，则b，cd，则acbd.解(1)b，故(1)错(2)0 成立，故(2)对(3)错例如，当a1，b1时，不成立(4)错例如，当ac1，bd2时，不成立.1某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是()A. B. C. D.答案D解析“不低于”即，“高于”即，“超过”即“”，x95，y380
6、，z45.2已知ab0，bbba BababCabba Dabab答案C解析由ab0知ab，ab0.又b0，abba.3比较(a3)(a5)与(a2)(a4)的大小解(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70.(a3)(a5)0ab；ab0ab；ab0ab.2作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键3不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千
7、万不可想当然一、基础达标1设xa0，则下列不等式一定成立的是()Ax2axaxa2Cx2a2a2ax答案B解析xaa2.x2axx(xa)0，x2ax.又axa2a(xa)0，axa2.x2xaa2.2已知a0，b B.aC.a D.a答案D解析取a2，b2，则1，a.3若a，b，cR，ab，则下列不等式成立的是()A.b2C. Da|c|b|c|答案C解析对A，若a0b，则0，A不成立；对B，若a1，b2，则a2b，恒成立，C成立；对D，当c0时，a|c|b|c|，D不成立4若abc且abc0，则下列不等式中正确的是()Aabac BacbcCa|b|c|b| Da2b2c2答案A解析由ab
8、c及abc0知a0，c0，bc，abac.故选A.5若1a5，1b2，则ab的取值范围为_答案1,6解析1b2，2b1，又1a5，1ab6.6b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖(m0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：_.答案解析变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了7若cab0，证明.证明ab0，ab，caab0，0，在ca0，又ab0，.8一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式将题中的不等式表示出来解列不等式组，涉及到至少、至多问题，要用到“”或“”，那么在处理“”问题
9、时要注意“”成立的条件，据题意可得(x，y，zN)二、能力提升9已知a、b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()Aa2b2 Ba2bab2 C. D.答案C解析对于A，在ab中，当a0，b0时，a2b2不成立；对于B，当a0时，a2b0，ab20，a2bab2不成立；对于C，a0，0且a1，Mloga(a31)，Nloga(a21)，则M，N的大小关系为()AMN DMN答案C解析当a1时，a31a21，此时，yloga x为R上的增函数，loga(a31)loga(a21)；当0a1时，a31loga(a21)，当a0且a1时，总有MN.11若xR，则与的大小关系为_答案解析0.12设f
10、(x)1logx3，g(x)2logx2，其中x0且x1，试比较f(x)与g(x)的大小解f(x)g(x)1logx32logx2logx，当或即1x时，logx0，f(x)g(x)；当1，即x时，logx0，即f(x)g(x)；当或即0x1，或x时，logx0，即f(x)g(x)综上所述，当1x时，f(x)g(x)；当x时，f(x)g(x)；当0x1，或x时，f(x)g(x)三、探究与创新13已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：甲乙丙维生素A(单位/kg)600700400维生素B(单位/kg)800400500成本(元/kg)1194若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.试用x、y表示混合食物成本c元，并写出x、y所满足的不等关系解依题意得c11x9y4z，又xyz100，c4007x5y，由及z100xy，得x，y所满足的不等关系为
