1、北京市第八中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试练习题试题（含解析）考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上）1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据并集的运算，求得，再结合补集的运算，即可求解.【详解】由题意，全集，可得，所以.故选：D【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.
2、 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】当a0时,a20一定成立;a20时,a0或a0”是“a20”的充分不必要条件.故选A.【点睛】根据充分条件的定义和必要条件的定义判断，首先要分清条件p与结论q，若，则p是q的充分条件.若q不能推出p,则p是q的不必要条件.3. 设函数，则（ ）A. B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】由自变量的范围直接代入可得，进而可得，再代入计算即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查了分段函数函数值的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.4. 设，则下列不等式中不成立的
3、是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对于A，C，D利用不等式的性质分析即可，对于B举反例即可【详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以A成立；对于B，若，则，此时，所以B不成立；对于C，因为，所以，所以C成立；对于D，因为，所以，则，所以D成立，故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.5. 已知函数在上满足：对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到在上单调递减，进而可求出结果.【详解】由题意，得到在上单调递减，因此只需，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查由分段函数单调性求参数，属于基础题型.
4、6. 复数的共轭复数是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，然后求其共轭复数.从而求得正确结论.【详解】，故其共轭复数为.所以选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.7. 肖明同学从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试，则他至少选中1道排列题的选法有（ ）A. 56B. 64C. 72D. 144【答案】B【解析】【分析】根据组合的概念，直接得出结果.【详解】从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试，至少选中1道排列题的选法有.故选：B.【点睛】本题主要考查组合的简单应用，属于基础题型.8. 已知函数在，
5、上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在上为减函数，由求解.【详解】已知函数，则，因为在，上为增函数，在上为减函数，所以，即，解得 ，所以实数的取值范围为故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.9. 函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式的解集为（ ）A. 或B. 或C. 或 D. 【答案】A【解析】分析】根据函数图象得到函数是奇函数，然后将不等式转化为，利用数形结合法求解.【详解】由函数的图象知：函数是奇
6、函数，所以不等式等价于，如图所示：函数与的图象的交点是，所以的解集为：或，故选：A【点睛】本题主要考查不等式的解法以及函数奇偶性的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.10. 动点的轨迹为以点为中心的正方形，且与两坐标轴分别交于点，如图所示，则的最大值为（ ）A. 0B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，先得到点的轨迹方程，再由基本不等式，以及二次函数的性质，即可得出的最大值.【详解】因为动点的轨迹为以点为中心的正方形，且与两坐标轴分别交于点，所以当时，所以，当且仅当时，等号成立；当时，即，则，当且仅当或时，等号成立；当时，即，且，所以，当且仅当或时，等号成立；
7、当时，所以，当且仅当时，等号成立；综上，的最大值为.故选：B.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于常考题型.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡的横线上）11. 袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球.不放回地连续取两次，则已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为_.【答案】【解析】【分析】记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”，根据题中条件，由条件概率的计算公式，即可得出结果.【详解】记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”：则，所以已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为.故答案为：.【点睛】本题
8、主要考查求条件概率，属于基础题型.12. 已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】由的奇偶性可得，代入函数解析式列出等式求解，即可求得.【详解】因为是偶函数，所以，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，属于基础题.13. 若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_【答案】0,2【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可【详解】由已知易得x|x22x30x|xm1，又x|x22x30x|x3，或0m2，故答案为:0,2【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键,属
9、于基础题.14. 某学校共有学生2000名，采用分层抽样的方法抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生数比男生数少6人，则该校的女生数为_.【答案】【解析】【分析】设样本中女生人数为，则男生人数为，根据样本容量求出，再由抽样比，即可得出结果.【详解】设样本中女生人数为，则男生人数为，又样本容量为200，所以，解得，因为抽样比为，所以该校的女生数为.故答案为：.【点睛】本题主要考查分层抽样的计算，属于基础题.15. 记，则_.【答案】126【解析】【分析】分别令、，可求得各项系数和与常数项；利用，得到展开式通项公式，求得，进而求得结果.【详解】令得：；令得：；，展开式通项为，令，则，.故答案
10、为：.【点睛】本题考查二项式定理中与各项系数和、指定项系数有关的问题的求解；在求解与各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法来快速求得结果.16. 函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，其几何意义为点到点，两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可.【详解】解：因，其几何意义为点到点，两点的距离之和，即，因为点在抛物线上，点在抛物线内，点在抛物线外，所以，当，三点共线，且在之间时，取得最大值，为（，三点不共线时，可构成三角形，此时两边之差小于第三边），因为，所以函数的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查两点之间距离公式的妙用，涉及函数最值的求解，属于常考题型.三、解答题（本大题共
11、6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球.（1）从中任意取出两个球求这两个球的编号之和为偶数的概率；（2）从中任意取出三个球，记为编号为偶数的球的个数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见详解，期望为.【解析】【分析】（1）先求出从六个球中任取两个所包含的基本事件总数，再确定满足两球编号之和为偶数对应的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）根据题中条件，得出的可能取值，求出对应的概率，即可得出对应的分布列，从而可求出期望.【详解】（1）从编号为1，2，3，4，5，6的六个球任意取出两个球，共有种可
12、能，取出的两球编号之和为偶数包含的基本事件有：，共个基本事件，因此从六个球中任意取出两个球求这两个球的编号之和为偶数的概率为；（2）由题意，的可能取值为，则，所以的分布列为：因此期望为.【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于常考题型.18. 已知函数，是奇函数.（1）求的表达式；（2）求函数的极值.【答案】（1）；（2）极大值，极小值.【解析】【分析】（1）求导，由得到的表达式，然后利用是奇函数求解.（2）由（1）知，求导，再利用极值的定义求解.【详解】（1）函数，所以，所以，因为是奇函数，所以，所以，解得，所以的表达式为.（2）由（1）知，则，当或时，递
13、减；当时，递增；所以当时，取得极大值，当时，取得极小值.【点睛】本题主要考查函数导数的求法，利用奇偶性求函数解析式以及函数极值的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 设，不等式的解集记为集合.（1）若，求的值；（2）当时，求集合.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理列等式可求得实数的值；（2）解方程可得或，对与的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可求得集合.【详解】（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以，由韦达定理可得，解得；（2）当时，由可得，解方程，可得或.当时，即当时，或；当时，即当时，原不等
14、式为，则；当时，即当时，或.综上所述，当时，或；当时，则；当时，或.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数值，同时也考查了含参二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.20. 随着手机功能的开发和使用，越来越多的人把大量的时间花在手机上，尤其是手机游戏上，而与其他人交流的时间越来越少.为调查大学生的社交情况，从北京市大学生中随机抽取100位同学，对他们拥有的相对固定的社交群体的个数进行了统计，结果如下：社交群体数量频数频率0至3个100.14至6个350.357至9个300.310至12个13个以上5合计1001（1）求，的值；（2）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人
15、中恰有1人社交群体个数超过9个的概率；（3）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记表示抽到的是社交群体个数超过9个的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据统计表中数据，列式求出，进而可求出，；（2）根据题意，分别得到社交群体个数不超过9个的人数，以及超过9个的人数，根据古典概型的概率计算公式，即可得出结果；（3）先由题意，得到随机抽取1人，则社交群体个数超过9个的概率为，的可能取值为：，分别求出对应的概率，得出分布列，进而可得出期望.【详解】（1）根据统计表得到，解得，则，；（2）由题意，
16、这100位同学中，社交群体个数不超过9个的人数有人；超过9个的人数有人，则从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人社交群体个数超过9个的概率；（3）由题意，从全市大学生中随机抽取1人，则社交群体个数超过9个的概率为，从全市大学生中随机抽取3人，记表示抽到的是社交群体个数超过9个的人数，则的可能取值为：，则，所以的分布列为因此期望为.【点睛】本题主要考查频数与频率的计算，考查古典概型的概率计算，考查离散型随机变量的期望与分布列，属于常考题型.21. 已知函数.（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若函数在上的最小值为1，求实数的取值范围；（3）若，讨论函数在上的零点个数【答案】（1）1
17、；（2）；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）求出的导数，利用导数讨论在上的单调性，即可求出最小值；（2）利用导数讨论在上的单调性，结合最小值为1即可求出的范围；（3）分类讨论的范围，结合函数的单调性即可判断零点个数.【详解】解：(1)当时，因为，所以，所以为单调递增函数，所以(2)，当时，所以为单调递增函数，符合题意；当时，在上，单调递减，在上，单调递增，所以，因为，故，与的最小值为1矛盾.故实数的取值范围为 (3)由(2)可知，当时，在上，为单调递增函数，此时函数的零点个数为0； 当时，令，则，函数单调递减，令，解得， 所以当，所以当时，此时函数在上的零点个数为0； 当时，此时函数在上
18、的零点个数为1；，又，故在存在一个零点，故在存在一个零点，此时函数在上的零点个数为2 综上，可得时，函数在上的零点个数为0；时，函数在上的零点个数为1；，函数在上的零点个数为2.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查已知最值求参数范围，考查利用导数研究函数的零点，属于较难题.22.已知函数的图象在上连续不断，定义：，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”（）若，试写出，的表达式；（）已知函数，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；（）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.【答案
19、】（1），（2）存在，使得是-1,4上的“4阶收缩函数”（3）【解析】试题分析：（1）根据的最大值可求出，的解析式；（2）根据函数，上的值域，先求出，的解析式，再根据求出k的取值范围得到答案.(3)先对函数求导判断函数的单调性，进而写出，的解析式，然后再由求出k的取值范围.试题解析：（1）由题意可得：，.（2），当时，；当时，；当时，综上所述，.即存在，使得是上的“4阶收缩函数”.（3），令得或.函数的变化情况如下：令得或.（1）当时，在上单调递增，因此，.因为是上的“二阶收缩函数”，所以，对恒成立；存在，使得成立.即：对恒成立，由解得或.要使对恒成立，需且只需.即：存在，使得成立.由解得或.所以，只需.综合可得（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，显然当时，不成立，（3）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，显然当时，不成立.综合（1）（2）（3）可得：.