1、3.3.3简单的线性规划问题第1课时线性规划的有关概念及图解法学习目标1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题引例已知x，y满足条件该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x3y的最大值以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念知识点一线性约束条件及目标函数1在上述问题中，不等式组是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件2在上述问题中，是要研究的目标，称为目标函数因为它是关于变量x，y的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数知识点二
2、线性规划问题一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题知识点三可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使式取最大值的可行解称为最优解1可行域内每一个点都满足约束条件()2可行解有无限多，最优解只有一个()类型一最优解问题命题角度1问题存在唯一最优解例1已知x，y满足约束条件该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x3y的最大值考点线性目标最优解题点
3、求线性目标函数的最值解设区域内任一点P(x，y)，z2x3y，则yx，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线，如图由图可以看出，当直线yx经过直线x4与直线x2y80的交点M(4,2)时，截距的值最大，此时2x3y14.反思与感悟图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤：(1)确定线性约束条件，线性目标函数(2)作图画出可行域(3)平移平移目标函数对应的直线zaxby，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置(4)求值解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值跟踪训练1已知1xy5，1xy3，求2x3y的取值范围考点线性目标
4、最优解题点求线性目标函数的最值解作出二元一次不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所示)即为可行域设z2x3y，变形得yxz，则得到斜率为，且随z变化的一组平行直线z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最小，由图可知，当直线z2x3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小解方程组得A点坐标为(2,3)，zmin2x3y22335.当直线z2x3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大解方程组得B点坐标为(2，1)zmax2x3y223(1)7.52x3y7，即2x3y的取值范围是5,7命题角度2问题的最优解有多个例2已知x，y满足约束条件若目标函数zaxy的最大值有无数个最优解，
5、求实数a的值考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题解约束条件所表示的平面区域如图(阴影部分)，由zaxy，得yaxz.当a0时，最优解只有一个，过A(1,1)时取得最大值；当a0，yaxz与xy2重合时，最优解有无数个，此时a1；当a0时，截距越大，z就越大；当b0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a_.考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题答案解析将zaxy变形，得yaxz.当它与直线AC重合时，z取最大值的点有无穷多个kAC，a，即a.1用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：(1)寻找线性约束条件，线性目标函数(2)作图画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表
6、示的平行直线系中的任意一条直线l.(3)平移将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置(4)求值解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值2作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解3在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题一、填空题1若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域内，则2xy的最小值为_考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案6解析如图，曲线y|x|与y2所围成的封闭区
7、域如图中阴影部分(含边界)所示，令z2xy，则y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点A(2,2)时，z取得最小值，此时z2(2)26.2若变量x，y满足约束条件则xy的最大值为_考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案9解析画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，令zxy，则yxz.当直线yxz过点A时，z最大由得A(4,5)，zmax459.3设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为_考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案7解析可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z0，得直线l0：y2x0，平移直线l0知，当直线l0过D点时，z取得最小值由得
8、D(5,3)zmin3257.4设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为_考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案3，11解析作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z3x4y经过点A时，z有最小值，经过点B时，z有最大值易求得A(3,5)，B(5,3)zmax35433，zmin334511.5已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示易知直线z2xy过交点B时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.6已知若zaxy的最小值是
9、2，则a的值为_考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案2解析作出可行域，如图中阴影部分所示，又zaxy的最小值为2，若a2，则(1,0)为最优解，解得a2；若a2，则(3,4)为最优解，解得a，舍去，故a2.7已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 确定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值为_考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案4解析由线性约束条件画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数zxy，将其化为yxz，结合图形可知，当目标函数的图象过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入zxy，得z的最大值为4.8已知A(2,5)，B(4,
10、1)若点P(x，y)在线段AB上，则2xy的最大值为_考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案7解析作出线段AB，如图所示，作直线2xy0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时，2xy取最大值，为2417.9已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)考点线性目标最优解题点求目标函数的取值范围答案3,8解析作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示在可行域内平移直线2x3y0，当直线经过xy2与xy4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值，zmin23313；当直线经过xy1与xy3的交点B(1，2)时，目标函数有最大值，zmax21328.所以z3,
11、810若x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案5解析方法一(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由zx2y，得yxz，作直线yx并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin3245.方法二(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得zmin5.11某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每
12、天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，则所需租赁费最少为_元考点生活实际中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用答案2 300解析设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则目标函数为z200x300y.作出其可行域(图略)，易知当x4，y5时，z200x300y有最小值2 300.12设x，y满足则zxy的取值范围是_考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案2，)解析作出约束条件表示的可行域，如图所示，zxy表示直线yxz过可行域时，在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A点时，z有最小值联立解得A(2,0)zmin2，z无最大值xy2，)二、
13、解答题13某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t支援物资的任务该公司有8辆载重为6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？考点生活实际中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用解设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆，成本费为z元列表分析数据.A型车B型车限量车辆数xy10运物吨数24x30y180费用320x504yz由表可知x，y满足线性约束条件且目标函数z320x504y.作出可行域，如图
14、阴影部分(含边界)所示可知当直线z320x504y过A(7.5,0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z320x504y，可知点(8,0)是最优解这时zmin320850402 560(元)，即用8辆A型车，成本费最低所以公司每天调出A型卡车8辆时，花费成本最低三、探究与拓展14若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是_考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案解析画出不等式组所表示的平面区域如图(阴影部分)所示，由得A(1,2)，由得B(2,1)由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两条直线为满足条件的距离最小的一对直线，即AB.15已知变量x，y满足的约束条件为若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题解依据约束条件，画出可行域直线x2y30的斜率k1， 目标函数zaxy(a0)对应直线的斜率k2a，若符合题意，则需k1k2.即a，得a.