1、北京市第二次普通高中2020-2021学年高二数学学业水平考试合格性考试试题（含解析）参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高第一部分（选择题 共81分）本部分共27小题，每小题3分，共81分在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 已知集合，那么集合等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由交集定义可直接求得结果.【详解】由交集定义知：.故选：A2. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式即可得出定义域.【详解】由，解得即该函数的定义域为故选：C3. 如果，那么与角终边相同的角的集合可以表示为（ ）A
2、. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据角终边相同的角的集合为即可得答案.【详解】因为与角终边相同的角的集合为，故当时，角终边相同的角的集合可以表示为.故选：A【点睛】方法点睛：角终边相同的角的集合为4. 幂函数的图象经过（ ）A. 点B. 点C. 点D. 点【答案】D【解析】【分析】将代入函数求解即可得答案.【详解】当时，代入解析式得，故幂函数的图象经过点.故选：D5. 已知全集，那么集合等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由补集的定义求解即可.【详解】故选：C6. 函数的零点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】直接令即
3、可得出结果.【详解】令，解得，即函数的零点的个数为1，故选：B.7. 已知平面向量，那么等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】直接由向量数量积的坐标运算即可得解.【详解】平面向量，所以.故选：C.8. 2019年某博物馆接待参观者61.3万人次据统计，18岁以下（不含18岁）的参观人数占总参观人数的11%；岁的参观人数最多，占总参观人数的62%；24岁以上（不含24岁）的参观人数占总参观人数的27%为了解参观者对博物馆展览内容的需求及建议现采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取岁的人数为（ ）A. 20B. 22C. 34D. 124【答案】
4、D【解析】【分析】先求出各层抽取比例，进而得出岁抽取的人数.【详解】 岁抽取的人数为故选：D9. 已知，那么的值是（ ）A. 0B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】由诱导公式求解即可.【详解】故选：C10. 已知函数是上的增函数，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数在为增函数即可得答案.【详解】因为函数是上的增函数，故，故选：A11. 已知函数的部分图象如图所示，那么它的一条对称轴方程可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据图象即可确定对称轴的方程.【详解】由图可知函数的图像关于对称，故选：C.12. 计算的结果是（ ）A
5、. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用两角和差正弦公式直接计算可得结果.【详解】.故选：C.13. 已知函数为偶函数，且，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由偶函数定义可直接求得结果.【详解】为偶函数，.故选：B.14. 函数在区间上的最小值是（ ）A. B. C. 0D. 4【答案】B【解析】【分析】由，结合范围可得解.【详解】函数，在区间上有时，函数取得最小值.故选：B.15. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接根据指数函数的定义可判断.【详解】为递增的指数函数，定义域为，且根据指数函数的定义及图象性质可
6、判断A为的图象.故选：A16. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向上平移个单位D. 向下平移个单位【答案】B【解析】【分析】根据平移法则可得答案.【详解】根据左加右减可知：将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.故选：.17. 已知中，那么等于（ ）A. 1B. C. D. 6【答案】B【解析】【分析】由余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理可得故选：B18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，那么该四棱锥的体积是（ ）A. 1B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】先求得四棱锥的底面积和高，再由体积公式求解即可.【详解】由底面为
7、正方形，得，底面面积为，底面，即高为2，所以该四棱锥的体积是.故选：C.19. 计算的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数和对数运算法则直接计算可得结果.【详解】.故选：B.20. 如图，四边形是平行四边形，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由平面向量减法三角形法则可直接得到结果.【详解】由平面向量减法的三角形法则知：.故选：A.21. 已知平面向量，给出下列四个结论：； 其中正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的概念，可判定不正确；由向量的坐标运算，可判定不正确；由向量的模的计算公式，
8、可判定正确.【详解】由题意，平面向量，根据向量的概念，可得，所以不正确；由向量的坐标运算，可得，所以不正确；由向量的坐标运算，可得，所以不正确；由向量的模的计算公式，可得，所以正确.故选：D.22. 已知函数由下表给出：12343124那么等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据表中数据运算即可求得结果.【详解】，.故选：A.第2327题有、两组试题，2019级考生作答第组试题，非2019级考生作答第组试题第组（2019级考生作答）23. 已知复数，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由复数的加法运算可直接得到结果.【详解】.故选：D
9、.24. 不等式的解集是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由一元二次不等式的解法，因为，可得，即不等式的解集为.故选：B.25. “三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】本题首先可以判断“三角形的三条边相等”能否证明出“三角形为等边三角形”，然后判断“三角形为等边三角形”能否证明出“三角形的三条边相等”，最后即可得出结果【详解】因为“三角形的三条边相等”可以证明出“三角形为等边三角形”， “三角形为等边三角
10、形”也可以证明出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件【点睛】本题考查充分条件与必要条件的相关性质，如果“条件”可以证明出“结论”，则“条件”是“结论”的充分条件，如果“结论”可以证明出“条件”，则“条件”是“结论”的必要条件26. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将特称量词改为全称量词，再否定结论即可得解.【详解】因为命题“”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即，故选：A.27. 已知，那么下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质可直接判断出结果.详解
11、】，知A错误，B正确；当时，C错误；当时，D错误.故选：B.第组（非2019级考生作答）28. 已知直线经过点，那么直线的斜率是（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】根据直线的斜率公式，即可求解.【详解】因为直线经过点，由直线的斜率公式，可得.故选：D.29. 已知直线经过点，且与直线平行，那么直线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由平行关系可得直线斜率，由直线点斜式方程可求得结果.【详解】与平行，直线斜率，方程为：.故选：B.30. 从甲、乙、丙、丁4人中选取一名志愿者参加社区活动，那么被选中的人是甲或乙的概率是（ ）A. B. C. D.
12、 【答案】C【解析】【分析】分别求解甲被选中与乙被选中的概率，再求并事件概率即可【详解】设“甲被选中的事件”为A，“乙被选中的事件”为B则，所以被选中的人是甲或乙的概率是故选：C31. 如图，原点到直线的距离是（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】由距离公式求解即可.【详解】由距离公式可知，原点到直线的距离故选：A32. 圆与圆的公共点的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由两圆方程可确定圆心和半径，利用圆心距与半径之和相等可确定结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径；由圆的方程知：圆心，半径；两圆圆心距，两圆相外切，两圆公共点个数为个.故选：B
13、.第二部分（解答题 共19分）33. 某同学解答一道三角函数题：“已知函数（I）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值”该同学解答过程如下：解答：（）因为，所以所以所以函数的最小正周期是（）因为，所以所以当时，函数的最小值是所以当时，函数的最小值是写出该同学在解答过程中用到了下表中的哪些数学知识（写出5个即可）任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念的正弦、余弦、正切的诱导公式弧度与角度的互化函数的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间上的性质两角差的余弦公式函数的实际意义两角差的正弦、正切公式两角和的正弦、余弦、正切公
14、式二倍角的正弦、余弦、正切公式参数对函数图象变化的影响【答案】答案见解析【解析】【分析】结合该同学的解答过程，逐步分析即可得解.【详解】（）根据题意因为，所以，该步用到“二倍角的正弦、余弦、正切公式”；所以所以函数的最小正周期是该步用到“三角函数的周期性”；（）因，所以该步用到“弧度制的概念”所以当时，函数的最小值是该步用到“正弦函数、余弦函数在区间上的性质；所以当时，函数的最小值是该步用到“参数对函数图象变化的影响”【点睛】本题考查三角函数的二倍角公式，函数值域的求解等，考查运算求解能力，综合分析能力，是基础题.本题解题的关键在于根据解题步骤，依次分析，即可求解.34. 阅读下面题目及其解答
15、过程，并补全解答过程已知函数（）当时，判断函数的奇偶性；（）求证：函数在上是减函数解答：（）当时，函数是奇函数理由如下：因为，所以当时，因为函数的定义域是，所以，都有所以所以所以函数是奇函数（）证明：任取，且，则因为，所以所以所以所以函数在上是减函数以上解答过程中，设置了五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的，并填写在答题卡的指定位置空格序号选项ABABABABAB 【答案】A；B；A；B；B【解析】【分析】根据选项一一判断即可【详解】中，当时，故选：A；中，故选：B；中，则，故选：A；中，故选：B；中，因为，所以，故选：B35. 某创业公司销售一
16、批新上市的电子产品，销售期定为31天收集这31天的日销售额的数据后发现，这批产品的日销售额开始时不断增加，中间几天没有变化，随后逐渐减少日销售额（单位：万元）随时间（单位：天）变化的散点图如图1所示：（1）根据图1中的数据，在这31天中，该批产品的日销售额不大于3万元的天数是_；（2）通过观察图1，发现散点大致分布在三段不同的函数图象上，如图2所示：当时，基本满足函数关系式；当时，基本满足函数关系式；当时，基本满足函数关系式根据图2中的数据，求的值【答案】（1）日销售额不大于3万元的天数是7天； （2）.【解析】【分析】（1）根据图1中的数据，日销售额不大于3万元的天数；（2）由图2中的数据，
17、结合点和函数的解析式，代入即可求解.【详解】（1）由图1，根据销售额（单位：万元）随时间（单位：天）变化的散点图，可得第1,2,27,28,29,30,31天的销售额不大于3万元，共有7天.（2）由图2可知，对于函数当时，可得，解得，当时，可得，即，解得，对于函数，当时，可得，当时，可得，联立方程组，解得.第31题有、两组试题，2019级考生作答第组试题，非2019级考生作答第组试题第组（2019级考生作答）36. 已知，求的最小值甲、乙两位同学的解答过程分别如下：甲同学的解答：因为，所以上式中等号成立当且仅当，即，解得（舍）当时， 所以当时，的最小值为2乙同学的解答：因为，所以上式中等号成立
18、当且仅当，即，解得（舍）所以当时，的最小值为以上两位同学写出的结论一个正确，另一个错误请先指出哪位同学的结论错误，然后再指出该同学解答过程中的错误之处，并说明错误的原因【答案】见解析【解析】【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”可判断甲是错误的.【详解】甲同学的解答是错误的，不对，不满足基本不等式：“一正二定三相等”中，“定”的要求，即积不是定值，不可以这样求解.第组（非2019级考生作答）37. 已知直线与圆交于两点，求某同学的解答过程如下：解答：设联立方程组消去，整理得此方程根的判别式所以所以所以指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程【答案】见解析【解析】【分析】分析解析过程可知韦达定理表示错误，改正后可由，代入韦达定理可得解.【详解】不对，应该是，正确的解答过程为：设联立方程组消去，整理得此方程根的判别式所以所以所以