1、第7讲 离散型随机变量的均值与方差一、选择题1某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数XB，则E(2X1)等于()A. B.C3 D.解析 因为XB，所以E(X)，所以E(2X1)2E(X)121 .答案 D 2某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200 C300 D400解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为，则B(1 000,0.1)，E()1 0000.1100，故需补种的期望为E(
2、X)2E()200.答案B3若p为非负实数，随机变量的分布列为012Ppp则E()的最大值为()A1 B. C. D2解析由p0，p0，则0p，E()p1.答案B4已知随机变量X8，若XB(10，0.6)，则E()，D()分别是()A6和2.4 B2和2.4 C2和5.6 D6和5.6解析由已知随机变量X8，所以有8X.因此，求得E()8E(X)8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4.答案B5一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为 ()A. B. C. D.解析由已知得，
3、3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0b1.又32 ，当且仅当，即a2b时取“等号”，又3a2b2，即当a，b时，的最小值为，故选D.答案D6设10x1x2x3D(2)BD(1)D(2)CD(1)D(2)DD(1)与D(2)的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关解析利用期望与方差公式直接计算E(1)0.2x10.2x20.2x30.2x40.2x50.2(x1x2x3x4x5)E(2)0.20.20.20.2(x1x2x3x4x5)E(1)E(2)，记作，D(1)0.2(x1)2(x2)2(x5)20.2xxx522(x1x2x5)0.2(xxx52)同理D(2)0.22225 2.
4、2，2，222D(2)答案A二、填空题7某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，则y的值为_解析x0.10.3y1，即xy0.6.又7x0.82.710y8.9，化简得7x10y5.4.由联立解得x0.2，y0.4.答案0.48马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：123P？！？请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E()_.解析令“？”为a，“！”为b，则2ab1.又E()a2b3a2(2ab)2.答案29袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每
5、次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)_.解析 每次取球时，红球被取出的概率为，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数XB，故D(X)82.答案 210罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则的期望E()_.解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，为取得红球(成功)的次数，则B，从而有E()np4.答案三、解答题11袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，X表示所取球的
6、标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若aXb，E()1，D()11，试求a，b的值解(1)X的分布列为X01234PE(X)012341.5.D(X)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D()a2D(X)，得a22.7511，即a2.又E()aE(X)b，所以当a2时，由121.5b，得b2.当a2时，由121.5b，得b4.或即为所求12甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，a，a(0a1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为.(1)求的分布列及数学期望；(2)在概率P(i)(i0,1,2,3)中，若P(1)的值最大，求实数a
7、的取值范围解(1)P()是“个人命中，3个人未命中”的概率其中的可能取值为0,1,2,3.P(0)(1a)2(1a)2，P(1)(1a)2a(1a)(1a)a(1a2)，P(2)a2(1a)aa(1a)(2aa2)，P(3).所以的分布列为0123P(1a)2(1a2)(2aa2)的数学期望为E()0(1a)21(1a)22(2aa2)3.(2)P(1)P(0)(1a2)(1a)2a(1a)，P(1)P(2)(1a2)(2aa2)，P(1)P(3)(1a2)a2.由及0a1，得0a，即a的取值范围是.13如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间
8、落在各时间段内的频率如下表：时间(分钟)10202030304040505060L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望解(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10
9、.40.5，P(A1)P(A2)，甲应选择L1；P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，P(B2)P(B1)，乙应选择L2.(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)0.6，P(B)0.9，又由题意知，A，B独立，P(X0)P()P()P()0.40.10.04，P(X1)P(BA)P()P(B)P(A)P()0.40.90.60.10.42，P(X2)P(AB)P(A)P(B)0.60.90.54.X的分布列为X012P0.040.420.54E(X)00.0410.4220.541.5.14某城市有
10、甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用X表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值(1)求X的分布列及期望；(2)记“f(x)2Xx4在3，1上存在x0，使f(x0)0”为事件A，求事件A的概率解(1)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1、A2、A3，已知A1、A2、 A3相互独立，且P(A1)0.4，P(A2)0.5，P(A3)0.6.游客游览的景点数可能 取值为0、1、2、3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3、2、1、0，所以X的可能取值为1、3.则P(X3)P(A1A2A3)P()P(A1)P(A2)P(A3)P()P()P()20.40.50.60.24.P(X1)10.240.76.所以分布列为：X13P0.760.24E(X)10.7630.241.48.(2)f(x)2Xx4在3，1上存在x0，使得f(x0)0，f(3)f(1)0，即(6X4)(2X4)0，解得：X2.P(A)PP(X1)0.76.