1、第2讲矩阵与变换考情解读本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力分值为10分1矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵a11，a12与列矩阵的乘法规则为a11，a12a11b11a12b21，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为.说明：矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换一般地，对于平面上的任意一个点
2、(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x，y)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)(x，y)或T：.2几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换3矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A，B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A1，A1B.(2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A(adbc0)，它的逆矩阵为A1.(3)逆矩阵的简单性质若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A
3、1.已知A，B，C为二阶矩阵，且ABAC，若矩阵A存在逆矩阵，则BC.(4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组 (adbc0)，若将X看成是原先的向量，而将B看成是经过系数矩阵A(adbc0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AXB，则XA1B，其中A1.4二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A，那么称为A的一个特征值，而称为A的一个属于特征值的一个特征向量(2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0，b0)(1)若a2，
4、b3，求矩阵M的逆矩阵M1；(2)若曲线C：x2y21在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：y21，求a，b的值解(1)设矩阵M的逆矩阵M1，则MM1.又M，所以.所以2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩阵M1.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(x，y)，则，即又点P(x，y)在曲线C上，所以y21.则b2y21为曲线C的方程又已知曲线C的方程为x2y21，故又a0，b0，所以思维升华对于二阶矩阵，若有ABBAE，则称B为A的逆矩阵因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解 (2013江苏)已知
5、矩阵A，B，求矩阵A1B.解设矩阵A的逆矩阵A1，则，即故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵A1，所以A1B.热点三求矩阵的特征值与特征向量例3已知矩阵A，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量解(1)由题意得，所以a13，所以a4.(2)由(1)知A，令f()(1)240.解得A的特征值为1或3.当1时，由得矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为；当3时，由得矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.思维升华(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵解(1)设曲线2x22xyy21上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P(x，y)由，得又点P(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a0，所以(2)由(1)知，A，A2.所以|A2|1，(A2)1.