1、北京市第十三中学20202021学年第一学期高三数学期中测试本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第1页至第2页；第卷第2页至第4页.答题纸第1页至第4页，共4页.考试时间120分钟，满分150分.请在答题纸指定位置书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回.第卷（选择题）一、选择题1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，再利用并集运算求解.【详解】故选：C2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在上是单调减函数，在是单调减函数，在上是单调增函数，在不是单调函数，是幂函
2、数，它在上是单调增函数，故选D3. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数基本关系的平方关系可以求出的值且，再利用即可求解.【详解】由得，因为，所以，所以，所以，故选：A4. 曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求导数，得斜率的值，然后利用切线方程的公式，直接求解即可【详解】求导得斜率，代点检验即可选B.，故选：B5. 已知a，3，b，9，c成等比数列，且，则等于（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析】根据等比数列性质和对数的运算性质即可求出.【详解】a，3，b，9，c成等比数列，则，故选：
3、A.【点睛】该题考查的是有关等比数列与对数运算的综合题，涉及到的知识点有等比数列的性质，对数式运算法则，属于基础题目.6. 函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图像知A=1, ,得，则图像向右移个单位后得到的图像解析式为，故选D7. 若为任意角，则满足的一个值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】由，可知，从而可得到的关系式，结合四个选项可选出答案.【详解】因为，所以，即，所以可以为8.故选：D.【点睛】本题考查三角函数周期性的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8. 设是等差
4、数列，且公差不为零，其前项和为则“，”是“为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，充分性：，则对任意的恒成立，则，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，则，不合乎题意；若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，合乎题意.所以，“，”“为递增数列”；必要性：设，当时，此时，但数列是递增数列.所以，“，”“为递增数列”.因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主
5、要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题9. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出【详解】，的值所在的区间为，故选B【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.10. 已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数k的取值范围是（
6、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将方程有解问题转化为函数图象的交点问题，利用导数，即可得出实数k的取值范围.详解】不妨设当时，不存在非零实数，使得成立，则不满足题意当时，若存在非零实数，使得成立，则方程有非零的正根，即函数与有交点先考虑函数与直线相切的情形设切点为，则，整理得令，则，即函数在上单调递增则，所以方程的根只有一个，且，即则函数与直线相切时，切点为原点所以要使得函数与有交点，则，即所以实数k的取值范围是故选：A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，导数研究方程的根，属于中档题.第卷二、填空题11. 如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则
7、甲5次测试成绩的平均数是_，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是_.【答案】 (1). 84 (2). 2【解析】【分析】根据茎叶图和平均数，以及中位数的定义进行求解即可【详解】根据茎叶图写出甲、乙的成绩如下，甲：76，83，84，87，90乙：79，80，82，88，91所以，甲的平均成绩为：，乙的平均成绩为：，乙的中位数为82，所以，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是2故答案为：84；212. 求值_.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式化为锐角后可求得结果.【详解】。故答案为：13. 函数的最小值是_，此时_.【答案】 (1). 3 (2). 2【解析】【分析】由题知，又由，结合基本不
8、等式即可求解【详解】，由基本不等式可得，当且仅当即时，函数取得最小值故答案为：3；2【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力14. 在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_，第_天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.【答案】 (1). 16 (2). 21【解析】【分析】由题意可知出院人数构成一
9、个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果【详解】某医院一次性收治患者127人第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为，解得，第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院故答案为：16，21【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题15. 能够说明“设，是任意实数，若，则”是假命题的一组整数，的值依次为_.（写出满足条件的一组值即可）【答案】，（答案不唯一）
10、【解析】【分析】任意取一组，的值，满足，但不满足即可.【详解】令 ，则，但是，所以不成立，满足，是任意实数，若，则”是假命题，故答案为：，（答案不唯一）16. 定义在区间上的连续函数，如果，使得，则称为区间上的“中值点”，下列函数：；中，在区间上“中值点”多于一个的函数序号为_（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】【解析】，均符合题意，不符合题意；，不符合题意；，符合题意点睛：本题考查了新定义的命题真假的判断问题，重点是对导数及其几何意义的理解与应用问题，根据“中值点”的几何意义是在区间a，b上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间a，b的两个端点连线的斜率值由此定义并结合函数的图象与性
11、质，对于四个选项逐一判断，即得出正确答案三、解答题17. 已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求的通项公式；（）求和：【答案】（1）an=2n1.（2）【解析】试题分析：（）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.试题解析：（）设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n1.（）设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.从而.【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（
12、1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和. 18. 已知函数.（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求在区间上的最小值.【答案】（1）1；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得的值（2）由（1）得，利用正弦函数的周期性，得出结论；（3）由（1）得，利用正弦函数的单调性，得出结论；【详解】（1）或直接求.（2）由（1）得
13、，所以的最小正周期为（3）由（1）得，当，即时，取得最小值为.【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用三角恒等变换化简函数的解析式得到，进而利用正弦函数的性质求解，属于中档题19. 某单位有车牌尾号为2的汽车和尾号为6的汽车，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，车日出车频率0.6，车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：车尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且，两车出车相互独立.（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分
14、布列及其数学期望.【答案】（1）0.5；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，2，3，4，5，设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，根据计算可得结果；（2）的可能取值为0，1，2，3，求出的各个取值的概率可得分布列和数学期望.【详解】（1）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，2，3，4，5由已知可得，设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，因为，两车是否出车相互独立，且事件，互斥，所以所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5.（2）的可能取值为0，1，2，3所以的的分布列为01230.080.320.420.18.【点睛】关键点点
15、睛：第二问分析出的可能取值，搞清楚的每个取值对应的事件是解题关键.20. 如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记（1）若，求；（2）分别过A、B做x轴的垂线，垂足依次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求角的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三角函数定义，得，由此利用同角三角函数的基本关系求得的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果（2）依题意得，分别求得和的解析式，再由求得，根据的范围，求得的值【详解】（1）解：由三角函数定义，得，因为，所以所以（2）解：依题意得， 所以，依题
16、意得，即，整理得因为，所以，所以，即【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题21. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）证明：当时，曲线恒在曲线的下方；（3）讨论函数零点的个数.参考公式：.【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）证明见解析；（3）当时，函数只有一个零点.【解析】【分析】（1）利用导数等于0，即可求出函数的极值；（2）构造函数，求出导数，利用（1）的结论判断导函数的符号，即可判断的单调性及最值，从而得出结论；（3）由得，设，所以求函数零点的个数等价于求直线与函数图象交点的个数.【详解】解：（1）.令，得.
17、当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值.（2）证明：令，则，由（1）得，故在R上单调递增，又，因此，当时，即即当时，曲线恒在曲线的下方.（3）由得，设，则函数零点的个数等价于直线与函数图象交点的个数.，由得，由得或，所以函数在和单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极大值，时，函数取得极小值，又当时，使得.因为在上单调递减，所以，当时，函数只有一个零点.【点睛】（1）解答本题时多次用到了转化的解题方法，如何证明当时，曲线恒在曲线的下方转化为证明不等式的问题，又转化为求所构造函数的最值问题；（2）求含参数的函数零点个数可由分离参变量得，转化为求两个函数和图象的
18、交点问题.22. 设数列A： ， , ().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则的元素个数不小于 -.【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（）关键是理解“G时刻”的定义，根据定义即可写出的所有元素；（）要证，即证中含有一元素即可；（）当时，结论成立.只要证明当时结论仍然成立即可.试题解析：（）的元素为和.（）因为存在使得，所以.记，则，且对任意正整数.因此，从而.（）当时，结论成立.以下设.由（）知.设.记.则.对，记.如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.从而对任意，特别地，.对.因此.所以.因此的元素个数p不小于.【考点】数列、新定义问题.【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.