1、6平面向量数量积的坐标表示学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识链接1已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)ab与ab坐标表示有何区别？答若abx1y2x2y1，即x1y2x2y10.若abx1x2y1y2，即x1x2y1y20.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反2你能用向量法推导两点间距离公式|吗？答(x2x1，y2y1)，2|2(x2x1)2(y2y1)2，即|.预习导引
2、1平面向量数量积的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和2两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.3平面向量的模(1)向量模公式：设a(x1，y1)，则|a|.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.4向量的夹角公式设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos .5方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量要点一向量数量积的坐标运算例1已知向量a
3、与b同向，b(1,2)，ab10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(ac)b.解(1)a与b同向，且b(1,2)，ab(，2)(0)又ab10，410，2，a(2,4)(2)ac22(1)40，(ac)b0b0.规律方法(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充跟踪演练1已知向量a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)求：(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c，a(bc)解(1)ab(1,3)(2,5)123517.(2)ab(1,3)(2,5)(3,8)
4、，2ab2(1,3)(2,5)(2,6)(2,5)(0,1)，(ab)(2ab)(3,8)(0,1)30818.(3)(ab)c17c17(2,1)(34,17)，a(bc)a(2,5)(2,1)(1,3)(2251)9(1,3)(9,27)要点二两向量的夹角例2已知(2,1)，(1,7)，(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)(1)求使取得最小值时的；(2)对(1)中求出的点C，求cosACB.解(1)点C是直线OP上的一点，向量与共线，设t(tR)，则t(2,1)(2t，t)，(12t,7t)，(52t,1t)，(12t)(52t)(7t)(1t)5t220t125(t2)
5、28.当t2时，取得最小值，此时(4,2)(2)由(1)知(4,2)，(3,5)，(1，1)，|，|，358.cosACB.规律方法应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角跟踪演练2已知向量ae1e2，b4e13e2，其中e1(1,0)，e2(0,1)(1)试计算ab及|ab|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值解(1)ae1e2(1,0)(0,1)(1，1)，b4e13e24(1,0)3(0,1)(4,3)，ab413(1)1，|ab|.(2)由ab|a|b|cos ，cos .要点三向量垂直的坐标表示例3已知在AB
6、C中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标解设D点坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，D在直线BC上，即与共线，6(y2)3(x3)0，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0.即2xy30.由可得|，即|，点D的坐标为(1,1)规律方法将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法跟踪演练3已知a，ab，ab，若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.解设向量b(x，y)根据题意，得0，|.(ab)(ab)0，|ab|ab|，|a|b|
7、，ab0.又a，即解得或b或b.1已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A. B.C. D.答案B解析ab325，|a|，|b|，设夹角为，则cos .又0，.2已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|等于()A4 B2 C8 D8答案D解析易得ab2(1)426，所以c(2,4)6(1,2)(8，8)，所以|c|8.3在ABC中，C90，(k,1)，(2,3)，则k的值为_答案5解析(2,3)(k,1)(2k,2)，(2,3)，2(2k)60，k5.4已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解
8、(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以
9、对比学习、记忆若a(x1，y1)，b(x2，y2)则abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.一、基础达标1已知向量a(1，)，b(3，m)若向量a，b的夹角为，则实数m等于()A2 B. C0 D答案B解析ab(1，)(3，m)3m，又abcos ，3mcos ，m.2已知a(3,2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为()A B. C D.答案A解析由a(3,2)，b(1,0)，知ab(31,2)，a2b(1,2)又(ab)(a2b)0，3140，.3已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于()A. B. C. D4答案C解析易知|a|1，|b|1，
10、ab，|a3b|2(a3b)2a26ab9b213，|a3b|.4已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A. B.C. D.答案D解析设c(x，y)，则ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.由解得x，y.5若向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()A B.C. D.答案C解析2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)，(2ab)(ab)9，|2ab|3，|ab|3.设所求两向量夹角为，则cos ，0，.6设a(2，x)，b(4,5)，若
11、a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_答案x且x解析为钝角，cos 0，即ab85x0，x.ab时有4x100，即x，当x时，a(2，)b，a与b反向，即.故a与b的夹角为钝角时，x且x.7已知a(4,3)，b(1,2)(1)求a与b的夹角的余弦；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值解(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cos a，b.(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，又(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.二、能力提升8已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则等于()A4 B3 C2 D1答案B解析因为m(1,1)，n(2,2)所以
12、mn(23,3)，mn(1，1)因为(mn)(mn)，所以(mn)(mn)0，所以(23)30，解得3.故选B.9与向量a，b的夹角相等，且模为1的向量是()A.B.或C.D.或答案B10平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.答案2解析因为向量a(1,2)，b(4,2)，所以cmab(m4,2m2)，所以acm42(2m2)5m8，bc4(m4)2(2m2)8m20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以，即，所以，解得m2.11已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b和c；(2)若m2ab，nac，
13、求向量m与向量n的夹角的大小解(1)ab，3x360.x12.ac，344y0.y3.b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)，设m，n的夹角为，则cos .0，即m，n的夹角为.12设a(1,2)，b(2，3)，又c2ab，damb，若c与d的夹角为45，求实数m的值解a(1,2)，b(2，3)，c2ab2(1,2)(2，3)(0,1)，damb(1,2)m(2，3)(12m,23m)，cd0(12m)1(23m)23m.又|c|1，|d|，cos 45.化简得5m28m30，解得m1或m.三、探究与创新13在ABC中，c，a，b，且abbcca，试判断ABC的形状解在ABC中，易知0，即abc0，acb，abc，两式相减可得b22abc22acc2b2，则2b22(abac)2c2.abcaac，2b22c2，即|b|c|.同理可得|a|b|，故|，即ABC是等边三角形