1、北京市理工大学附属中学分校2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）第一部分（选择题）一选择题：在小列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，若，则a可能是（ ）A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】先化简集合A，再根据求解.【详解】集合，因为，所以a可能是1故选：C2. 已知命题，；则是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定可得出.【详解】命题为全称命题，它的否定为，.故选：C.3. 已知函数，则（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入计算，即可求解
2、.详解】由题意，函数，可得.故选：A.4. 设a，b，c为非零实数，且，则（ ）A. B. C. D. 以上三个选项都不对【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，以及举出反例，逐项判定A、B、C，即可求解.【详解】由a，b，c为非零实数，且，对于A中，例如：当时，此时，所以不成立；对于B中，例如：当时，此时，所以不成立；对于C中，由，因为，可得，当时，可得，此时；当时，可得，此时，所以C项不成立.故选：D.5. 已知函数是一次函数，且，则的解析式为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设函数的解析式为，根据，求得的值，即可求解.【详解】设一次函数的解析式为，因为，可得，所以
3、，解得，所以函数的解析式为.故选：B6. 若全集，则集合的真子集共有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A【解析】【分析】根据集合的补集判断集合的个数，进而求得集合的真子集个数【详解】由题可知，集合有三个元素所以的真子集个数为：个选A【点睛】集合中子集的个数为，真子集的个数为-1，非空真子集的个数为-27. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据定义域以及解析式逐一判断选择，即可得到结果.【详解】定义域为定义域为，所以不选A;定义域都为且对应关系相同，所以是同一函数；定义域为定义域为， 所以不选C;定义域都为但对应关系不相同，所以不选
4、D;故选：B【点睛】本题考查判断函数是否相同，考查基本分析判断能力，属基础题.8. 下列函数中，定义域为且区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出各选项中函数的定义域，并判断出各选项中函数在区间上的单调性，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，且该函数在区间上单调递减；对于B选项，函数的定义域为，当时，函数单调递增；对于C选项，函数的定义域为，且该函数在区间上单调递减；对于D选项，函数的定义域为，且该函数在区间上单调递增.故选：A.9. 已知，则的最小值是（ ）A. 6B. 8C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，利用基本不等式，
5、由求解.【详解】因为，所以，所以 ，当且仅当 时，取等号，所以的最小值是，故选：C10. 设a，b，c为正数，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不修要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：，为正数，当，时，满足，但不成立，即充分性不成立，若，则，即，即，即，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键第二部分（非选择题）二填空题11. 在数轴上，且，则_【答案】或【解析】【分析】根据绝对值
6、的几何意义可得出关于的等式，由此可解得实数的值.【详解】在数轴上，且，即，可得，解得或.故答案为：或.12. 函数的定义域为_【答案】且【解析】分析】根据分母不为以及根号里的被开方数要大于等于即可求出.【详解】由题知，且.定义域为为且.故答案为：且【点睛】思路点睛：首先分母不能为，再根号里的被开方数要大于等于求交集.13. 若、是一元二次方程的两个根，则的值为_.【答案】【解析】【分析】列出韦达定理，由可求得的值.【详解】对于方程，故原方程必有两根，又根据二次方程根与系数的关系，可得，.所以.故答案为：.【点睛】本题考查利用韦达定理求值，考查计算能力，属于基础题.14. 已知不等式的解集是，则
7、不等式的解集是_【答案】（，）【解析】【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可【详解】不等式ax2+bx+c0的解集为（2，3），a0，且2，3是方程ax2+bx+c0的两个实数根，解得ba，c6a，其中a0；不等式cx2+bx+a0化为6ax2+ax+a0，即6x2x10，解得x，因此所求不等式的解集为（，）故答案：（，）15. 已知，若，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据集合的运算法则，把，转化为，分类讨论，结合集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，因为，可得，即，当时，可得，解得；当时，则满足或，解
8、得或，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：【点睛】根据集合的运算求参数问题的方法：1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解，2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.三解答题16. 已知，且不是空集，（1）求集合的所有可能情况；（2）求、的值.【答案】（1）或或；（2）或或.【解析】【分析】（1）解出集合，根据且可得出所有可能的集合；（2）根据（1）中集合所有可能的情况，结合韦达定理可求得、的值.【详解】（1），且，则或或；
9、（2）若，由韦达定理可得，解得；若，由韦达定理可得，解得；若，由韦达定理可得，解得.综上所述，或或.17. 已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）当a4时，代入不等式f（x）0，可得：（x1）（x3）0，解出即可得出（2）由题意可得一元二次方程f（x）0无实数根，因此0，解出即可得出【详解】（1）当，不等式为 方程有两个实数根， 不等式的解集为 （2）解集为R，方程无实根， 实数的取值范围是【点睛】本题考查了“三个二次”之间的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18. 经过长期观测得到
10、：在交通不繁忙时段内，四通桥路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：.（1）该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留一位小数）（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内?【答案】（1）当汽车的平均速度为千米/小时，车流量最大，最大车流量为千辆/小时；（2）.【解析】【分析】（1）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值；（2）解不等式即可得解.【详解】（1），由基本不等式可得（千辆/小时），当且仅当时，等号成立，因此，该时段内，当汽车的平均速度为千米/小时，车流量最大，最
11、大车流量约为千辆/小时；（2）当时，由，整理可得，解得.因此，若要求在该时段内车流量超过千辆/小时，则汽车的平均速度.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.19. （1）已知，当时，求x的取值范围.（2）已知，若对于一切，均有成立，求实数m的取值范围.【答案】（
12、1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，得到，分类讨论，即可求得不等式的解集；（2）把对于一切，均有成立，转化为在恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，因为，即，当时，不等式可化为，解得，即；当时，不等式可化为恒成立，；当时，不等式可化为，解得，即，综上可得，实数x的取值范围.（2）由对于一切，均有成立，即在恒成立，即在恒成立，等价于在恒成立，因为，可得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，即实数m的取值范围.【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.