1、2015-2016学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：在每个小题给给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1设全集为R，集合A=xZ|1x3，集合B=1，2，则集合A（RB）=（）A0，3B1，0，1，2，3C1，0，3D1，02在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：观看场数01234567观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%16%m%6%2%从表中可以得出正确的结论为（）A表中m的数值为8B估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C估计观看比
2、赛不低于4场的学生约为720人D若从1000名学生中抽取样容量为50的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为253阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）ABCD4若xR，则“x1”是“|x|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点为F，若以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率等于（）ABC2D26如图，圆O是ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC的长为（）A5B4CD37若函数f（x）=a|x+b|（a0且a1，bR）是偶函数，则下面的结论正确
3、的是（）Af（b3）f（a+2）Bf（b3）f（a+2）Cf（b3）=f（a+2）Df（b3）与f（a+2）的大小无法确定8已知函数f（x）=，函数g（x）是周期为2的偶函数，且当x0，1时，g（x）=2x1，则函数F（x）=f（x）g（x）的零点个数为（）A8B7C6D5二、填空题：本大题有6道小题，每题5分，共30分9若z（1+i）=（1i）2（i为虚数单位），则z=10在长方形ABCD中，AB=3，BC=2，E为CD上一点，将一个质点随机投入长方形中，则质点落在阴影部分的概率为11某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为12已知正数a，b满足2a4b8，则ab的最大值为13如图，已知AB
4、CD是底角为60的等腰梯形，其中ABCD，AD=4，DC=6， =2， =2，则的值为14若函数f（x）=sinxcosx（0）在区间（，）与至少存在两个极大值点，则的取值范围是三、解答题：本大题共有6道小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，sinB=3sinA（1）若C=，求a，b的值；（2）若cosC=，求ABC的面积16某市大型国有企业按照中央“调结构、保增长、促发展”的指示精神，计划投资甲乙两个项目，前期调研获悉，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，增加产值200万元；乙项目每投资百万元需要配套电能4万千
5、瓦，增加产值300万元，根据该企业目前资金储备状况仅能最多投资3000万元，配套电能100万千瓦（）假设企业在甲、乙两个项目投资额分别为x，y（单位：百万元），请写出x，y所满足的约束条件，并在所给出的坐标系画出可行域；（）计算如何安排对甲、乙两个项目投资额，才能使产值有最大的增加值17已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1底面ABCD，ABCD是等腰梯形，ABDC，AB=2，AD=1，ABC=60，E，F分别是A1C，A1B1的中点（）求证：D1E平面BB1C1C；（）求证：BCA1C；（）若A1A=AB，求DF与平面A1ADD1所成角的正弦值18已知各项均为正数的数列an的前n项和
6、为Sn，且4Sn=a+2an+1（nN*）（1）求an的通项公式；（2）设f（n）=（n，kN*），bn=f（2n+4），求数列bn的前n项和Tn19已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，AF1F2的周长为6（）求椭圆C的方程；（）过点A作直线l与椭圆C的另一个交点为B，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，求证：为定值20已知函数f（x）=mlnxx2+2（mR）（）当m=1时，求f（x）的单调区间；（）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）f（x）4x3；（）若m8，当x1时，恒有f（x）f（x）4x3恒成立，求m的取值范围2015-20
7、16学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每个小题给给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1设全集为R，集合A=xZ|1x3，集合B=1，2，则集合A（RB）=（）A0，3B1，0，1，2，3C1，0，3D1，0【考点】交、并、补集的混合运算【专题】对应思想；定义法；集合【分析】根据补集与交集的定义，写出RB与A（RB）即可【解答】解：全集为R，集合A=xZ|1x3=0，1，2，3，集合B=1，2，RB=xR|x1且x2，集合A（RB）=0，3故选：A【点评】本题考查了交集与补集的定义与运算问题，是基础题目2在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生
8、会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：观看场数01234567观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%16%m%6%2%从表中可以得出正确的结论为（）A表中m的数值为8B估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D若从1000名学生中抽取样容量为50的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为25【考点】系统抽样方法【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】由频率分布表的性质，求出m=12；先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率为36%，由此估计观看比赛不低于
9、4场的学生约为360人；若从1000名学生中抽取样容量为50的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为20【解答】解：由频率分布表的性质，得：m=10081020261662=12，故A错误；观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%=36%，估计观看比赛不低于4场的学生约为：100036%=360人，故B正确，C错误；若从1000名学生中抽取样容量为50的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为=20，故D错误故选：B【点评】本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）ABCD【考点】程序框
10、图【专题】计算题；分析法；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时，满足条件i3，退出循环，用裂项法即可求值【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1不满足条件i3，S=，i=2不满足条件i3，S=+，i=3不满足条件i3，S=+，i=4满足条件i3，退出循环，输出s的值S=+=1=故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，K的值是解题的关键，属于基本知识的考查4若xR，则“x1”是“|x|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【
11、专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可【解答】解：由|x|1得1x1，则“x1”是“|x|1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键5双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点为F，若以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率等于（）ABC2D2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；对应思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线方程表示出F坐标，以及渐近线方程，由以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，得到圆心F到渐近线距离d=r，整理得
12、到a=b，再利用双曲线的简单性质及离心率公式计算即可【解答】解：根据题意得：圆心F（c，0），半径为a，双曲线渐近线方程为y=x，即bxay=0，以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，且c2=a2+b2，圆心F到渐近线的距离d=a，即a=b，c=a，则双曲线C的离心率e=，故选：B【点评】此题考查了双曲线的简单性质，直线与圆相切的性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键6如图，圆O是ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC的长为（）A5B4CD3【考点】与圆有关的比例线段【专题】选作题；数形结合；综合法；推理和证明【分析】由切割线定理求出AB=
13、BC=5，由弦切角定理得到BCDCAD，由此能求出AC【解答】解：圆O是ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，AD=4，CD=6，ACD=ABC，CD2=ADBD，即36=4（4+AB），解得AB=5，BC=5ACD=ABC，D=D，BCDCAD，解得AC=故选：C【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理和弦切角定理的合理运用7若函数f（x）=a|x+b|（a0且a1，bR）是偶函数，则下面的结论正确的是（）Af（b3）f（a+2）Bf（b3）f（a+2）Cf（b3）=f（a+2）Df（b3）与f（a+2）的大小无法确定【考点】奇偶性与单调性的
14、综合【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质求出b=0，然后结合指数函数的单调性，进行比较大小即可【解答】解：f（x）=a|x+b|（a0且a1，bR）是偶函数，f（x）=f（x），即a|x+b|=a|x+b|，即|xb|=|x+b|，即b=0，则f（x）=a|x|，a0且a1，a+22且a3，而b3=3，即f（b3）=f（3）=f（3），若a1，则f（x）在（0，+）上为增函数，此时a+23，则f（b3）f（a+2），若0a1，则f（x）在（0，+）上为减函数，此时2a+23，则f（b3）f（a+2），综上f（b3）f（a+2），故选：A【点评】本题主要考查函数
15、值的大小比较，根据函数奇偶性的性质求出b的大小，利用分类讨论结合指数函数的单调性是解决本题的关键8已知函数f（x）=，函数g（x）是周期为2的偶函数，且当x0，1时，g（x）=2x1，则函数F（x）=f（x）g（x）的零点个数为（）A8B7C6D5【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用【分析】函数F（x）=f（x）g（x）的零点个数可化为函数f（x）=及函数g（x）的图象的交点的个数，从而利用数形结合求解【解答】解：由题意作函数f（x）=及函数g（x）的图象如下，结合图象可知，函数f（x）与g（x）的图象共有6个交点，故函数F（x）=f（x）g（x）
16、的零点个数为6，故选：C【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用二、填空题：本大题有6道小题，每题5分，共30分9若z（1+i）=（1i）2（i为虚数单位），则z=1i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由z（1+i）=（1i）2，得故答案为：1i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题10在长方形ABCD中，AB=3，BC=2，E为CD上一点，将一个质点随机投入长方形中，则质点落在阴影部分的概率为【考点】几何概型【专题】计算题
17、；规律型；函数思想；概率与统计【分析】直接求出图形面积，利用几何概型求解即可【解答】解：在长方形ABCD中，AB=3，BC=2，E为CD上一点，将一个质点随机投入长方形中，则质点落在阴影部分的面积=3，矩形的面积为：23=6所求概率为：故答案为：【点评】本题考查几何概型概率的求法，是基础题11某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；作图题；数形结合；空间位置关系与距离【分析】由题意作图，从而可得其由三棱柱截去三棱锥得到，从而解得【解答】解：由题意作图如下，其由三棱柱截去三棱锥可得，其中三棱柱的体积V=112=1，被截去的三棱锥的体积V=111=，故该
18、几何体的体积为1=，故答案为：【点评】本题考查了学生的空间的想象力与数形结合的思想应用12已知正数a，b满足2a4b8，则ab的最大值为【考点】基本不等式【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】正数a，b满足2a4b8，化为2a+2b23，可得a+2b3再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：正数a，b满足2a4b8，化为2a+2b23，a+2b3则ab=，当且仅当a=2b=时取等号故答案为：【点评】本题考查了指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13如图，已知ABCD是底角为60的等腰梯形，其中ABCD，AD=4，DC=6， =2， =2，则的
19、值为【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由题意求出AB，然后利用共线向量基本定理把、用梯形四边所在向量表示，展开后代入数量积公式得答案【解答】解：如图，ABCD是底角为60的等腰梯形，ABCD，AD=4，DC=6，可求得AB=2又， =，=故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法与减法的三角形法则，是中档题14若函数f（x）=sinxcosx（0）在区间（，）与至少存在两个极大值点，则的取值范围是（，+）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】求出f（x）的极大
20、值点，令绝对值最小的两个极大值点在区间（，）上，列不等式解出【解答】解：f（x）=2sin（x），令f（x）=2得sin（x）=1，x=+2k解得x=+当k=0时，x=，当k=1时，x=，当k=1时，x=，f（x）在区间（，）与至少存在两个极大值点，解得故答案为（，+）【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，求出极大值点是解题关键三、解答题：本大题共有6道小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，sinB=3sinA（1）若C=，求a，b的值；（2）若cosC=，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化
21、思想；分析法；解三角形【分析】（1）由已知等式及正弦定理可得b=3a，由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，联立即可解得a，b的值（2）先求，又b=3a，由余弦定理可得，可求a，b的值，利用三角形面积公式即可求值得解【解答】（本小题满分13分）解：（1），由正弦定理知sinB=3sinA即b=3a，（4分）当时，由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，即7=a2+9a23a2，解得a=1，b=3（7分）（2）由得，又b=3a，由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=a2+9a22a2=8a2，即（9分）因为，所以，（12分）因此（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角
22、形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题16某市大型国有企业按照中央“调结构、保增长、促发展”的指示精神，计划投资甲乙两个项目，前期调研获悉，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，增加产值200万元；乙项目每投资百万元需要配套电能4万千瓦，增加产值300万元，根据该企业目前资金储备状况仅能最多投资3000万元，配套电能100万千瓦（）假设企业在甲、乙两个项目投资额分别为x，y（单位：百万元），请写出x，y所满足的约束条件，并在所给出的坐标系画出可行域；（）计算如何安排对甲、乙两个项目投资额，才能使产值有最大的增加值【考点】基本不等式在最值问题中
23、的应用【专题】数形结合；分析法；不等式的解法及应用【分析】（I）由题意知投资额x，y所满足的约束条件，分别求出O，A，B，C四点的坐标，画出不等式组表示的可行域；（II）目标函数为z=200x+300y，可通过z=0的直线平移可得经过A点时取得最大值【解答】解：（I）由题意知投资额x，y所满足的约束条件为，对应的边界点分别为O（0，0），A（10，20），B（0，25），C（30，0），如图，可行域为四边形OCAB及其内部区域（含边界）（II）目标函数为z=200x+300y，其斜率为，而可行域的边界对应的斜率分别为，所以当目标函数对应的动直线z=200x+300y经过点A（10，20）时，即
24、甲、乙两个项目投资额分别安排1000万元、2000万元，才能使产值有最大的增加值【点评】本题考查简单线性规划的运用，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题17已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1底面ABCD，ABCD是等腰梯形，ABDC，AB=2，AD=1，ABC=60，E，F分别是A1C，A1B1的中点（）求证：D1E平面BB1C1C；（）求证：BCA1C；（）若A1A=AB，求DF与平面A1ADD1所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【专题】规律型；数形结合；方程思想；转化思想；空间位置关系与距离；空间角【分析】（ I）连
25、结D1F，EF，B1C，通过证明EFCB1A1B1D1C1，说明四边形C1D1FB1为平行四边形，证明平面D1EF平面BB1C1C，然后证明D1E平面BB1C1C（ II）连结AC，证明BCACA1ABC推出BC平面A1AC，即可证明BCA1C（ III）取A1D1的中点G，连结FG，推出FG平面A1ADD1连结DG，说明FDG为直线DF与平面A1ADD1所成的角在RtFDG中，求解即可【解答】（本小题满分13分）（ I）证明：连结D1F，EF，B1C，因为EF是A1CB1的中位线，所以EFCB1因为ABDC，所以A1B1D1C1，又因为AB=2AD=2，ABC=60，可求D1C1=1，故D1
26、C1=FB1，所以四边形C1D1FB1为平行四边形，所以D1FC1B1，又因为EFD1F=F，CB1C1B1=B1，所以平面D1EF平面BB1C1C，又因为D1E平面D1EF所以D1E平面BB1C1C（4分）（ II）证明：连结AC，在等腰ADC中可求AC=，又因为BC=1，AB=2，所以AC2+BC2=AB2，所以BCAC又四棱柱是直四棱柱，故A1A平面ABCD，BC平面ABCD，所以A1ABC因为A1AAC=A，所以BC平面A1AC，A1C平面A1AC，所以BCA1C （8分）（ III）解：取A1D1的中点G，连结FG，由已知可知A1D1F为正三角形，故FGA1D1，又因为四棱柱是直四棱
27、柱，所以平面A1D1F平面A1ADD1，所以FG平面A1ADD1连结DG，则FDG为直线DF与平面A1ADD1所成的角在RtFDG中，故，所以 （13分）【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判断与性质，直线与平面孙传庭的求法，考查空间想象能力以及计算能力18已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且4Sn=a+2an+1（nN*）（1）求an的通项公式；（2）设f（n）=（n，kN*），bn=f（2n+4），求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（）通过与（n2）作差、整理可知数列an是公差为2的等差数列，进而计算
28、可得结论；（）通过（I）可知b1=a2=5、b2=a1=1，当n3时bn=2n1+1，整理即得结论【解答】解：（I）4Sn=a+2an+1，当n2时，两式相减得：（an+an1）（anan12）=0，数列an各项为正数，当n2时，anan1=2，即数列an是公差为2的等差数列，又，解得a1=1，an=2n1；（II）由f（n）的表达式可知b1=f（6）=f（3）=a3=5，b2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a1=1，当n3（nN*）时，故n3时，=2n+n，综上可知Tn=【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题19已知椭圆C： +=1（
29、ab0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，AF1F2的周长为6（）求椭圆C的方程；（）过点A作直线l与椭圆C的另一个交点为B，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，求证：为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）利用离心率，椭圆的定义，列出方程组，即可求解椭圆C的方程（）若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，得到转化的值即为点O到直线AB的距离d，当AB的斜率不存在时，当AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，利用韦达定理综上，求出为定值【解答】（本小题满
30、分14分）解：（）由已知得，解得所以椭圆C的方程为（4分）（）若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，则所以的值即为点O到直线AB的距离d（7分）当AB的斜率不存在时，可设A（m，m），B（m，m），又A，B在椭圆C上，所以，即所以点O到直线AB的距离为（8分）当AB的斜率存在时，可设AB的方程为y=kx+t，与椭圆联立消y得（3+4k2）x2+8ktx+4t212=0，由0，得3+4k2t2设A（x1，y1），B（x2，y2），则（10分）由，得x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=，化简得7t2=12（k2+1）（12分）所以点O到直线AB的距离为=综上，点O到直线y=k
31、x+t的距离为定值，且定值为，即为定值，且定值为（14分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力20已知函数f（x）=mlnxx2+2（mR）（）当m=1时，求f（x）的单调区间；（）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）f（x）4x3；（）若m8，当x1时，恒有f（x）f（x）4x3恒成立，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（）f（x）的定义域为（0，+），求出函数的导数，利
32、用f（x）=0，求出极值点判断函数的单调性，求出单调区间（）利用f（x）在x=1时取得极大值，求出m，令g（x）=f（x）f（x）4x+3，通过函数的导数，求出函数的最值即可（）令，求出导函数，通过当m2时，g（x）0，当2m8时，求出g（x）取得最大值然后求解2m8【解答】（本小题满分14分）解：（）f（x）的定义域为（0，+），（1分）解f（x）=0，得当时，f（x）0，f（x）单调递增；当时，f（x）0，f（x）单调递减（3分）综上，当m=1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减（4分）（）若f（x）在x=1时取得极大值，则，则m=2（5分）此时f（x）=2lnxx2+2，令g（x）=f
33、（x）f（x）4x+3，则.（6分）令g（x）=0，得x=1列表得x（0，1）1（1，+）g（x）+0g（x）极大值（8分）由上表知，gmax（x）=g（1）=0，所以g（x）0，即f（x）f（x）4x3（9分）（）令（10分）则当m2时，g（x）0，所以g（x）在（1，+）上单调递减，所以当x1，g（x）g（1），故只需g（1）0，即12m+50，即m2，所以m=2（12分）当2m8时，解g（x）=0，得当时，g（x）0，g（x）单调递增；当时，g（x）0，g（x）单调递减所以当时，g（x）取得最大值故只需，即，令，则，所以h（x）在（1，+）上单调递增，又h（1）=20，h（4）=ln410，以x0（1，4），h（x0）=0，所以h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，4）上递增，而h（1）=14+5=0，h（4）=4ln448+5=8ln270，所以x1，4上恒有h（x）0，所以当2m8时，综上所述，2m8（14分）【点评】本题考查函数的最值的求法，函数的极值以及函数的单调区间的应用，考查构造法的应用，分析问题解决问题的能力