1、12.5二项分布及其应用1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)(P(A)0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A).(2)条件概率具有的性质：0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互
2、独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立3二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有_两_种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为XB(n，p)，并称p为成功概率1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)对于任意两个事件，公式
3、P(AB)P(A)P(B)都成立()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.()2把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()A. B. C. D.答案A解析P(B|A).3某一批花生种子，如果每粒发芽的概率都为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是()A. B. C. D.答案B解析独立重复试验B(4，)，P(k2)C()2()2.4某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个
4、问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为_答案0.128解析依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P10.20.80.80.128.5. 如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是， 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_答案解析理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，且A，C，之间彼此独立，且P(A)P()P(C).所以P(AC)P(A)P()P(C).题型一条件概率例1在100件产品中有95件合格品，5件不合格品现从
5、中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为_思维启迪直接利用条件概率公式进行计算或利用古典概型答案解析方法一设A第一次取到不合格品，B第二次取到不合格品，则P(AB)，所以P(B|A).方法二第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为.思维升华条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A).这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).从1,2,3,4,5中任
6、取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A. B. C. D.答案B解析P(A)，P(AB)，P(B|A).题型二相互独立事件的概率例2(2012重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率思维启迪将所求事件分解为几个彼此互斥的事件之和，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率公式求解解设Ak、Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中
7、，则P(Ak)，P(Bk)(k1,2,3)(1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)P(B1)P( B2)P( B3)P()P(B1)P()P()P()P(B2)P()P()P()P()P()P(B3)2233.(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)P( B2)P( A3)P()P()P()P(B2)P()P()P()P()P(A3)2222.思维升华相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经
8、出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率解记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是AB；“至少有1人击中目标”是ABAB.(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立，P(AB)P(A)P(B)0.80.80.64.(2)“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一
9、种是甲击中乙未击中(即A)，另一种是甲未击中乙击中(即B)根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为PP(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.8(10.8)(10.8)0.80.160.160.32.(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为PP(AB)P(A)P(B)0.640.320.96.题型三独立重复试验与二项分布例3乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛
10、局数的分布列思维启迪本题主要考查独立重复试验及二项分布，解题关键是正确判断是不是独立重复试验及正确应用概率计算公式解(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.记“甲以4比1获胜”为事件A，则P(A)C()3()43.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.乙以4比2获胜的概率为P1C()3()53，乙以4比3获胜的概率为P2C()3()63，所以P(B)P1P2.(3)设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7.P(X4)2C()4，P(X5)2C()3()43，P(X6)2C()3()53，P(X7)2C()3()63.比赛局数的分布列为X4567P思维升华利
11、用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式Pn(k)Cpk(1p)nk的三个条件：在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率(2013山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方
12、得1分求乙队得分X的分布列及数学期望解(1)设“甲队以30,31,32胜利”分别为事件A，B，C，则P(A)，P(B)C2，P(C)C22.(2)X的可能的取值为0,1,2,3.则P(X0)P(A)P(B)，P(X1)P(C)，P(X2)C22，P(X3)3C2.X的分布列为X0123PE(X)0123.对二项分布理解不准致误典例：(12分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列易错分析由于这名学生在各个交
13、通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成”规范解答解(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故XB.2分所以X的分布列为P(Xk)Ck6k，k0,1,2,3,4,5,6.5分(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：Yk(k0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算7分P(Yk)()k(k0,1,2,3,4
14、,5)，而Y6表示一路没有遇上红灯故其概率为P(Y6)()6，9分因此Y的分布列为Y0123456P()2()3()4()5()612分温馨提醒(1)二项分布是高中概率部分最重要的概率分布模型，是近几年高考非常注重的一个考点二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生(2)独立重复试验中的概率公式Pn(k)Cpk(1p)nk表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p与(1p)的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了.方法与技巧1古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式
15、为P(B|A)，其中，在实际应用中P(B|A)是一种重要的求条件概率的方法2相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B)3n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看做是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k个A事件与nk个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1p)nk.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1p)nk.失误与防范1运用公式P(AB)P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B
16、相互独立时，公式才成立2独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件.A组专项基础训练一、选择题1已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1P(A)P(B)是下列哪个事件的概率()A事件A，B同时发生B事件A，B至少有一个发生C事件A，B至多有一个发生D事件A，B都不发生答案C解析P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率2设随机变量XB(2，p)，YB(4，p)，若P(X1)，则P(Y2
17、)的值为()A. B. C. D.答案B解析P(X1)P(X1)P(X2)Cp(1p)Cp2，解得p.(0p1，故p舍去)故P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1C()4C()3.3甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A. B. C. D.答案D解析甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为，故甲队获得冠军的概率为.4位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
18、.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A.5 BC5CC3 DCC5答案B5两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A. B. C. D.答案B解析设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)，P(B)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)(1)(1).二、填空题6明天上午李明要参加校运动会，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一
19、个准时响的概率是_答案0.98解析10.200.1010.020.98.7某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_答案解析设该队员每次罚球的命中率为p(其中0p1)，则依题意有1p2，p2.又0p1，因此有p.8一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：3位病人都被治愈的概率为0.93；3人中的甲被治愈的概率为0.9；3人中恰有2人被治愈的概率是20.920.1；3人中恰好有2人未被治愈的概率是30.90.12；3人中恰好有2人被治愈，且甲被治愈的概率是0.92
20、0.1.其中正确结论的序号是_(把正确的序号都填上)答案三、解答题9. 如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为112.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的(1)求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；(2)设X表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求X的分布列；(3)若该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率解(1)设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P(A)，依题意，P(A).(2)依题意知，XB(3，)，从而X的分布列为X0123P(3)设Bi表示事件“第i次击中目标时，击中B区域”，Ci表
21、示事件“第i次击中目标时，击中C区域”，i1,2,3.依题意知PP(B1C2C3)P(C1B2C3)P(C1C2B3)3.10甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率解(1)方法一设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得(1P(B)2(1p)2，解得p或p(舍去)，所以乙投球的命中率为.方法二设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得：P()P()，于是P()或P()(舍去)故p
22、1P().所以乙投球的命中率为.(2)方法一由题设知，P(A)，P().故甲投球2次，至少命中1次的概率为1P().方法二由题设知，P(A)，P().故甲投球2次，至少命中1次的概率为CP(A)P()P(A)P(A).(3)由题设和(1)知，P(A)，P()，P(B)，P().甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次概率分别为CP(A)P()CP(B)P()，P(A)P(A)P()P()，P()P()P(B)P(B).所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为.B组专项能力提升1某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使
23、用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为()A0.3 B0.5 C0.6 D1答案B解析设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”，B为“该元件的使用寿命超过2年”，则P(A)0.6，P(B)0.3.因为BA，所以P(AB)P(B)0.3，于是P(B|A)0.5.2. 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()A0.960 B0.864C0.720 D0.576答案B解析方法一由题意知K，A1，A2正常工作的概率
24、分别为P(K)0.9，P(A1)0.8，P(A2)0.8，K，A1，A2相互独立，A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(A2)P(A12)P(A1A2)(10.8)0.80.8(10.8)0.80.80.96.系统正常工作的概率为P(K)P(A2)P(A12)P(A1A2)0.90.960.864.方法二A1，A2至少有一个正常工作的概率为1P(1 2)1(10.8)(10.8)0.96，系统正常工作的概率为P(K)1P(1 2)0.90.960.864.3市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产
25、的合格灯泡的概率是_答案0.665解析记A“甲厂产品”，B“合格产品”，则P(A)0.7，P(B|A)0.95.P(AB)P(A)P(B|A)0.70.950.665.4. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下 落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为_答案解析记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)33，从而P(A)1P(B)1.5甲罐中有5个红球，2
26、个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)P(B)；P(B|A1)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关答案解析P(B)P(BA1)P(BA2)P(BA3)，故错误；P(B|A1)，正确；事件B与A1的发生有关系，故错误；A1，A2，A3不可能同时发生，是互斥事件，正确6(2013辽宁)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望解(1)设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)C02；P(X1)C11C02；P(X2)C20C11；P(X3)C20.所以X的分布列为X0123P所以E(X)01232.