1、8.2空间点、直线、平面之间的位置关系1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角).范围：.3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平
2、行.6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.() (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线答案C解析由已知得直线c与b可能为异
3、面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a、b为异面直线相矛盾.3.下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面梯形可以确定一个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A.0B.1C.2D.3答案C解析经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说清三个点是否共线，不正确.4.如图，l，A、B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案D解析AB，MAB
4、，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，M在与的交线上.同理可知，点C也在与的交线上.5.已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD).其中正确的是_.答案解析如图，取BC的中点O，连接MO、NO，则OMAC，ONBD，在MON中，MNOMON(ACBD)，正确.题型一平面基本性质的应用例1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点.思维启迪(1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面；(2)可以先证
5、CE与D1F交于一点，然后再证该点在直线DA上.证明(1)连接EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面.(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE、D1F、DA三线共点.思维升华公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据.(1)以下四个命题中不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共
6、面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()A.0B.1C.2 D.3(2)a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定_个平面.答案(1)B(2)9解析(1)假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.(2)a、b是异面直线，a上任一点
7、与直线b确定一平面，共5个，b上任一点与直线a确定一平面，共4个，一共9个.题型二判断空间两直线的位置关系例2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.思维启迪第(1)问，连接MN，AC，证MNAC，即AM与CN共面； 第(2)问可采用反证法.解(1)不是异面直线.理由如下：连接MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1A綊C1C，A1ACC1为平行四边形，A1C1AC，MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异
8、面直线.(2)是异面直线.证明如下：ABCDA1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾.假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.思维升华(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(3)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.(1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行
9、(2)在图中，G、N、M、H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_.(填上所有正确答案的序号)答案(1)D(2)解析(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1，CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1，MNCC1，MNAC，MNBD.又A1B1与B1D1相交，MN与A1B1不平行，故选D.(2)图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面.所以图、中GH与MN异面.题型三求
10、两条异面直线所成的角例3空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小.思维启迪取AC中点，利用三角形中位线的性质作出所求角.解取AC的中点G，连接EG、FG，则EG綊AB，GF綊CD，由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.思维升华(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类
11、型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30B.45C.60D.90答案C解析如图，可补成一个正方体，AC1BD1.BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形，A1BD160.即BA1与AC1成60的角.求解两条直
12、线所成角问题概念不准确致误典例：(5分)过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A.1条B.2条C.3条D.4条易错分析忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.解析如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，BB1AA1，BCAD，体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，
13、过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条.答案D温馨提醒求空间直线所成的角时，常犯以下错误：(1)不能挖掘题中的平行关系，找不到其所成的角；(2)线多、图形复杂、空间想象力不够，感觉无从下手.方法与技巧1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过
14、该点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.失误与防范1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.3.两条异面直线所成角的范围是(0，90.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异
15、面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件答案A解析“两条直线为异面直线”“两条直线无公共点”.“两直线无公共点”“两直线异面或平行”.故选A.2.若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.平行、相交、是异面直线都有可能答案D解析当a，b，c共面时，ac；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交.3.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A.(0，)B.(0，)C.(1，)D.(1，)答案A解析此题
16、相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于.选A.4.四棱锥PABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案B解析因为四边形ABCD为正方形，故CDAB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为PAB.在PAB内，PBPA，AB2，利用余弦定理可知cosPAB，故选B.5.设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPbA.B.C.D.答案D解析当aP时，Pa，P，但a，错；aP时，错；如图，ab，
17、Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确.二、填空题6.平面、相交，在、内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面.答案1或4解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面.7.a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；若a，b与c成等角，则ab.上述命题中正确的命题是_(只填序号).答案解析由公理4知正确；当a与b相交，b与c相
18、交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确.8.若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对.答案24解析正方体如图，若要出现所成角为60的异面直线，则直线为面对 角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是AB， BC，AD，CD，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有24(对).三、解答题9.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、
19、CD上，且满足AEEB CFFB21，CGGD31，过E、F、G的平面交AD于点H.(1)求AHHD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点.(1)解2，EFAC，EF平面ACD，而EF平面EFGH，平面EFGH平面ACDGH，EFGH，ACGH.3.AHHD31.(2)证明EFGH，且，EFGH，EFGH为梯形.令EHFGP，则PEH，而EH平面ABD，又PFG，FG平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PBD.EH、FG、BD三线共点.10.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点.(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线O
20、C与MD所成角的正切值的大小.解(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S4，所以，四棱锥OABCD的体积V42.(2)连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，则EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角)，由已知，可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM为直角三角形，tanEMD.B组专项能力提升(时间：30分钟)1.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A.l1l2，l2l3l1l3B.l1l2，l2l3l1l3C.l1l2l3l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面答案B解析当l1l2，l2l3时，l1与l3也可能相交或异面
21、，故A不正确；l1l2，l2l3l1l3，故B正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确.2.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是_.答案解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.3.(2012四川)如图，在正方体ABCDA1B
22、1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_.答案90解析如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为CDN的中位线，所以MKDN.所以A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K，MKDN，A1M6，A1M2MK2A1K2，A1MK90.4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1、H、O三点共线. 证明连接BD，B1D1，则BDACO，BB1綊DD1，四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1.即D1、H、O三点共线.5.如图所示，等腰直角三角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB， 若DA1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，EFCD.BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在RtEAB中，ABAC1，AEAD，BE.在RtEAF中，AFAC，AE，EF.在RtBAF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB.异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
