1、阶段提升课第一课 数 列思维导图构建网络考点整合素养提升题组训练一 等差数列与等比数列的基本运算 1(2021中山高二检测)在等比数列an中，Sn 是它的前 n 项和，若 a2a32a1，且 a4与 2a7 的等差中项为 17，则 S6()A634 B16 C15 D614【解析】选 A.设an的公比为 q，则由等比数列的性质知，a2a3a1a42a1，则 a42；由 a4 与 2a7 的等差中项为 17 知，a42a721734，得 a716.所以 q3a7a4 8，即 q2，所以 a1a4q3 14，则 S614（126）12634.2(2021湘潭高二检测)已知等差数列an的前 n 项和
2、为 Sn，且 a3a813，S735，则 a7_【解析】设等差数列an的公差为 d，则由已知得(a12d)(a17d)13，S77（a1a16d）235.联立两式，解得 a12，d1，所以 a7a16d8.答案：83已知等差数列an的公差不为零，a125，且 a1，a11，a13 成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求 a1a4a7a3n2.【解析】(1)设an的公差为 d.由题意，得 a211 a1a13，即(a110d)2a1(a112d).于是 d(2a125d)0.又 a125，所以 d2 或 0(舍去).故 an2n27.(2)令 Sna1a4a7a3n2.由(1)知 a3n26
3、n31，故a3n2是首项为 25，公差为6 的等差数列从而 Snn2(a1a3n2)n2(6n56)3n228n.等差与等比数列的基本量计算方法在等差(或等比)数列中，首项 a1 与公差 d(或公比 q)是两个基本量，一般的等差(或等比)数列的计算问题，都可以设出这两个量求解在等差数列中的五个量 a1，d，n，an，Sn 或等比数列中的五个量 a1，q，n，an，Sn 中，可通过列方程组的方法，知三求二在利用 Sn 求 an 时，要注意验证 n1 是否成立题组训练二 等差、等比数列的性质及应用 1(2021许昌高二检测)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn 表示数列
4、an的前 n 项和，则使得 Sn 取得最大值的 n 是()A21 B20 C19 D18【解析】选 B.由 a1a3a5105 得，3a3105，所以 a335.同理可得 a433，所以 da4a32，ana4(n4)(2)412n.由an0，an10，n1，2，且 a5a2n522n(n3)，则 log2a1log2a3log2a2n1 等于()An(2n1)B(n1)2Cn2 D(n1)2【解析】选 C.因为 a5a2n5a2n 22n，且 an0，所以 an2n，因为 a2n122n1，所以 log2a2n12n1，所以 log2a1log2a3log2a2n1135(2n1)n1（2n
5、1）2n2.等差与等比数列性质的应用等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前 n 项和的性质、利用性质求数列中某一项等，关于等差(比)数列性质的应用问题，可以直接构造关于首项 a1和公差 d(公比 q)的方程或方程组来求解，再根据等差(比)数列的通项公式直接求其值，此解思路简单，但运算过程复杂题组训练三 数列的通项与求和 1已知数列an中，a11，an1an(1nan1)，则数列an的通项公式为()Aann2n22 Bann2n12Can2n2n1 Dan2n2n2【解析】选 D.原数列递推公式可化为 1an11an n，令 bn1an，则 bn1bnn，因此 bn(bnbn1)(
6、bn1bn2)(b3b2)(b2b1)b1(n1)(n2)211n2n22.从而 an2n2n2.2(2021深圳高二检测)已知数列 an满足：a112，an1a2n an，用 x表示不超过 x 的最大整数，则1a111a211a2 02011a2 0211的值等于()A1 B2 C3 D4【解析】选 A.由 an1a2n an，得1an1 1an 1an1，所以1a11 1a21 1a2 02111a1 1a2 1a2 1a3 1a2 021 1a2 0221a1 1a2 022 2 1a2 022，由 a112，an1a2n an 得 a112，a234，a32116 1 知从 a3 以后
7、都大于 1，所以 1a2 022 0，1，所以 2 1a2 022 1，2，则1a111a211a2 02111.3谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的好玩的数学一书中，有一篇文章五分钟挑出埃及分数，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为 1 的分数(称为埃及分数).则下列埃及分数 113，135，157，12 0192 021 的和是()A2 0202 021 B1 0102 021C1 0092 019 D2 0182 019【解析】选 B.因为1nn212 1n 1n2，所以 113 135 157 12 0192 02112 1131315151712 01912 02112 11
8、2 0211 0102 021.4(2021石家庄高二检测)已知 a12a222a32n1an96n，则数列an的通项公式是_【解析】令 Sna12a222a32n1an，则 Sn96n，当 n1 时，a1S13；当 n2 时 2n1anSnSn16，所以 an 32n2.所以通项公式 an3，n1，32n2，n2.答案：an3，n1，32n2，n2 通项与和的求法1由递推公式求数列通项公式时，一是要注意判别类型与方法二是要注意 an 的完整表达式，易忽视 n1 的情况常用的数列通项公式的求法有：(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的
9、题目(2)若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系，求数列an的通项 an 可用公式 anS1，n1，SnSn1，n2求解(3)对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列2数列求和时，根据数列通项公式特征选择求和法，尤其是涉及等比数列求和时要注意公比 q 对 Sn 的影响一般常见的求和方法有：(1)公式法：利用等差数列或等比数列前 n 项和公式；(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；(4)
10、错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(5)并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解题组训练四 等差、等比数列的判定 1数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn14an2(nN*).(1)设 bnan12an，求证：bn是等比数列(2)设 cn an2n2，求证：cn是等差数列【证明】(1)an2Sn2Sn14an124an24an14an.bn1bnan22an1an12an4an14an2an1an12an因为 S2a1a24a12，所以 a25.所以 b1a22a13.所以
11、数列bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知 bn32n1an12an，所以an12n1 an2n2 3.所以 cn1cn3，且 c1 a121 2，所以数列cn是等差数列，公差为 3，首项为 2.2设 Sn 为数列an的前 n 项和，对任意的 nN*，都有 Sn2an，数列bn满足 b12a1，bnbn11bn1(n2，nN*).(1)求证：数列an是等比数列，并求an的通项公式；(2)判断数列1bn是等差数列还是等比数列，并求数列bn的通项公式【解析】(1)当 n1 时，a1S12a1，解得 a11；当 n2 时，anSnSn1an1an，即 anan112(n2，nN*)
12、.所以数列an是首项为 1，公比为12 的等比数列，故数列an的通项公式为 an12n1.(2)因为 a11，所以 b12a12.因为 bnbn11bn1，所以 1bn 1bn11，即 1bn 1bn11(n2).所以数列1bn是首项为12，公差为 1 的等差数列所以 1bn 12(n1)12n12，故数列bn的通项公式为 bn22n1.等差、等比数列的判断与证明方法(1)定义法：an1and(常数)an是等差数列；an1anq(q 为常数，q0)an是等比数列；(2)中项公式法：2an1anan2an是等差数列；a2n1 anan2(an0)an是等比数列；(3)通项公式法：anknb(k，
13、b 是常数)an是等差数列；ancqn(c，q 为非零常数)an是等比数列；(4)前 n 项和公式法：SnAn2Bn(A，B 为常数，nN*)an是等差数列；SnAqnA(A，q 为常数，且 A0，q0，q1，nN*)an是等比数列提醒：前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可题组训练五 数列与函数 1若数列an的前 n 项和 Sn32 n2292 n(n1，2，3，)，则此数列的通项公式为_；数列nan中数值最小的项是第_项【解析】利用 anS1，n1，SnSn1，n2求得
14、 an3n16.则 nan3n216n3n832649，所以 n3 时，nan 的值最小答案：an3n16 32若数列an的通项公式为 ann2n，且an是递增数列，则实数 的取值范围是_【解析】方法一：an1an(n1)2(n1)(n2n)2n1，由于an是递增数列，故 2n10 恒成立，即 2n1，又 nN*，2n13，故 3.方法二：由于函数 yx2x 在2，上单调递增，结合其图象可知，若数列an是递增数列，则 a2a1，即 2221，即 3.答案：(3，)3(2021镇江高二检测)设数列an，bn满足 a1b16，a2b24，a3b33，若an1an是等差数列，bn1bn是等比数列(1
15、)分别求出数列an，bn的通项公式；(2)求数列an中最小项及最小项的值【解析】(1)a2a12，a3a21，由an1an成等差数列知其公差为 1，故 an1an2(n1)1n3；b2b12，b3b21，由bn1bn成等比数列知，其公比为12，故 bn1bn212n1，an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1(n1)(2)（n1）（n2）216n23n222n8n27n182，bn(bnbn1)(bn1bn2)(bn2bn3)(b2b1)b12112n11126223n.(2)因为 ann27n18212 n722238，所以 n3 或 n4 时，an 取到最小值，最小值为 a3a43.函数思想在数列问题中的应用数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集1，2，3，n)的特殊函数运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前 n 项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题